Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để đường thẳng \( y=-3x+m \) cắt đồ thị hàm số \( y=\frac{2x+1}{x-1} \) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho trọng tâm tam giác OAB (O là gốc tọa độ) thuộc đường thẳng \( x-2y-2=0 \)?
A. 2
B. 1
C. 0
D. 3
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Phương trình hoành độ giao điểm: \( -3x+m=\frac{2x+1}{x-1} \) (*)
Với điều kiện \( x\ne 1 \), \( (*)\Rightarrow 3{{x}^{2}}-(m+1)x+m+1=0 \) (1)
Đường thẳng \(y=-3x+m\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-1}\) tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1, điều kiện:
\( \left\{ \begin{align} & {{(m+1)}^{2}}-12(m+1)>0 \\ & {{3.1}^{2}}-(m+1).1+m+1\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}-10m-11>0 \\ & 3\ne 0 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m<-1 \\ & m>11 \\ \end{align} \right. \) (**)
Không mất tính tổng quát, giả sử \( A\left( {{x}_{1}};-3{{x}_{1}}+m \right) \), \( B\left( {{x}_{2}};-3{{x}_{2}}+m \right) \) với x1, x2 là hai nghiệm phân biệt phương trình (1).
Theo viet, ta có: \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{m+1}{3} \).
Gọi M là trung điểm AB, ta có: \( M\left( \frac{m+1}{6};\frac{m-1}{2} \right) \).
Giả sử G(x;y) là trọng tâm tam giác OAB, ta có:
\(\overrightarrow{OG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OM}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=\frac{2}{3}.\frac{m+1}{6} \\ & y=\frac{2}{3}.\frac{m-1}{2} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=\frac{m+1}{9} \\ & y=\frac{m-1}{3} \\ \end{align} \right.\)
Vậy \( G\left( \frac{m+1}{9};\frac{m-1}{3} \right) \).
Mặt khác, điểm G thuộc đường thẳng \( x-2y-2=0 \) nên ta có: \( \frac{m+1}{9}-2.\frac{m-1}{3}-2=0 \)
\( \Leftrightarrow m=-\frac{11}{5} \) (thỏa mãn (**))
Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!