Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=2x(1+e^x) là

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có: \(\int{2x(1+{{e}^{x}})dx}=2\int{xdx}+2\int{x{{e}^{x}}dx}\)

Gọi  \( I=2\int{x{{e}^{x}}dx} \).

Đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\  & dv={{e}^{x}}dx\Rightarrow v={{e}^{x}} \\ \end{align} \right. \).

Khi đó  \( I=2x{{e}^{x}}-2\int{{{e}^{x}}dx} \)

Vậy \(\int{2x(1+{{e}^{x}})dx}=2\int{xdx}+x{{e}^{x}}-2\int{{{e}^{x}}dx}\)\(={{x}^{2}}+x{{e}^{x}}-2x+C=(2x-2){{e}^{x}}+{{x}^{2}}+C\)