Gọi z=a+bi (a,b∈R) là số phức thỏa mãn điều kiện |z−1−2i|+|z+2−3i|=√10 và có môđun nhỏ nhất. Tính S=7a+b

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi M(a;b) là điểm biểu diễn số phức  \( z=a+bi \).

A(1;2) là điểm biểu diễn số phức  \( (1+2i) \).

B(-2;3) là điểm biểu diễn số phức  \( (-2+3i),\text{ }AB=\sqrt{10} \).

\( \left| z-1-2i \right|+\left| z+2-3i \right|=\sqrt{10} \) trở thành  \( MA+MB=AB \)  \( \Leftrightarrow M,A,B \) thẳng hàng và M ở giữa A và B.

Gọi H là điểm chiếu của O lên AB, phương trình  \( (AB):x+3y-7=0 \),  \( (OH):3x-y=0 \).

Tọa độ điểm  \( H\left( \frac{7}{10};\frac{21}{10} \right) \). Có  \( \overrightarrow{AH}=\left( -\frac{3}{10};\frac{1}{10} \right),\text{ }\overrightarrow{BH}=\left( \frac{27}{10};-\frac{9}{10} \right) \) và  \( \overrightarrow{BH}=-9\overrightarrow{AH} \) nên H thuộc đoạn AB.

\( {{\left| z \right|}_{\min }}\Leftrightarrow O{{M}_{\min }} \), mà  \( M\in AB\Leftrightarrow M\equiv H\left( \frac{7}{10};\frac{21}{10} \right) \).

Lúc đó  \( S=7a+b=\frac{49}{10}+\frac{21}{10}=7 \).