Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của m để bất phương trình ln(7×2+7)≥ln(mx2+4x+m) nghiệm đúng với ∀x∈R

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( \ln \left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge \ln \left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\ & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & (7-m){{x}^{2}}-4x+7-m\ge 0\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(1) \\ & m{{x}^{2}}+4x+m>0\begin{matrix}   {} & {}  \\\end{matrix}(2) \\ \end{align} \right. \)

Bất phương trình đã cho đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \) khi và chỉ khi các bất phương trình (1), (2) đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \).

Xét  \( (7-m){{x}^{2}}-4x+7-m\ge 0 \) (1).

+ Khi m = 7, ta có (1) trở thành  \( -4x\ge 0\Leftrightarrow x\le 0 \). Do đó, m = 7 không thỏa mãn.

+ Khi  \( m\ne 7 \), ta có (1) đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7-m>0 \\ & {\Delta }’\le 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<7 \\  & 4-{{\left( 7-m \right)}^{2}}\le 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<7 \\  & m\le 5\vee m\ge 9 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\le 5 \) (*)

Xét  \( m{{x}^{2}}+4x+m>0 \) (2)

+ Khi m = 0, ta có (2) trở thành  \( -4x>0\Leftrightarrow x<0 \). Do đó, m = 0 không thỏa mãn.

+ Khi  \( m\ne 0 \), ta có (2) đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m>0 \\  & {\Delta }'<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>0 \\  & 4-{{m}^{2}}<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>0 \\  & m<-2\vee m>2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m>2 \) (**)

Từ (*) và (**), ta có:  \( 2<m\le 5 \).

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ 3;4;5 \right\} \). Từ đó  \( S=3+4+5=12 \).