Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của m để bất phương trình \( \ln \left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge \ln \left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \) nghiệm đúng với \( \forall x\in \mathbb{R} \). Tính S.
A. S = 14
B. S = 0
C. S = 12
D. S = 35.
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Ta có: \( \ln \left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge \ln \left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\ & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & (7-m){{x}^{2}}-4x+7-m\ge 0\begin{matrix}{} & {} \\\end{matrix}(1) \\ & m{{x}^{2}}+4x+m>0\begin{matrix} {} & {} \\\end{matrix}(2) \\ \end{align} \right. \)
Bất phương trình đã cho đúng với \( \forall x\in \mathbb{R} \) khi và chỉ khi các bất phương trình (1), (2) đúng với \( \forall x\in \mathbb{R} \).
Xét \( (7-m){{x}^{2}}-4x+7-m\ge 0 \) (1).
+ Khi m = 7, ta có (1) trở thành \( -4x\ge 0\Leftrightarrow x\le 0 \). Do đó, m = 7 không thỏa mãn.
+ Khi \( m\ne 7 \), ta có (1) đúng với \( \forall x\in \mathbb{R} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7-m>0 \\ & {\Delta }’\le 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m<7 \\ & 4-{{\left( 7-m \right)}^{2}}\le 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m<7 \\ & m\le 5\vee m\ge 9 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\le 5 \) (*)
Xét \( m{{x}^{2}}+4x+m>0 \) (2)
+ Khi m = 0, ta có (2) trở thành \( -4x>0\Leftrightarrow x<0 \). Do đó, m = 0 không thỏa mãn.
+ Khi \( m\ne 0 \), ta có (2) đúng với \( \forall x\in \mathbb{R} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>0 \\ & {\Delta }'<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>0 \\ & 4-{{m}^{2}}<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>0 \\ & m<-2\vee m>2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m>2 \) (**)
Từ (*) và (**), ta có: \( 2<m\le 5 \).
Do \( m\in \mathbb{Z} \) nên \( m\in \left\{ 3;4;5 \right\} \). Từ đó \( S=3+4+5=12 \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!