Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của m để bất phương trình ln(7×2+7)≥ln(mx2+4x+m) nghiệm đúng với ∀x∈R

Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của m để bất phương trình \( \ln \left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge \ln \left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \) nghiệm đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \). Tính S.

A. S = 14

B. S = 0

C. S = 12                         

D. S = 35.

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( \ln \left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge \ln \left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\ & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & (7-m){{x}^{2}}-4x+7-m\ge 0\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(1) \\ & m{{x}^{2}}+4x+m>0\begin{matrix}   {} & {}  \\\end{matrix}(2) \\ \end{align} \right. \)

Bất phương trình đã cho đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \) khi và chỉ khi các bất phương trình (1), (2) đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \).

Xét  \( (7-m){{x}^{2}}-4x+7-m\ge 0 \) (1).

+ Khi m = 7, ta có (1) trở thành  \( -4x\ge 0\Leftrightarrow x\le 0 \). Do đó, m = 7 không thỏa mãn.

+ Khi  \( m\ne 7 \), ta có (1) đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7-m>0 \\ & {\Delta }’\le 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<7 \\  & 4-{{\left( 7-m \right)}^{2}}\le 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<7 \\  & m\le 5\vee m\ge 9 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\le 5 \) (*)

Xét  \( m{{x}^{2}}+4x+m>0 \) (2)

+ Khi m = 0, ta có (2) trở thành  \( -4x>0\Leftrightarrow x<0 \). Do đó, m = 0 không thỏa mãn.

+ Khi  \( m\ne 0 \), ta có (2) đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m>0 \\  & {\Delta }'<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>0 \\  & 4-{{m}^{2}}<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>0 \\  & m<-2\vee m>2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m>2 \) (**)

Từ (*) và (**), ta có:  \( 2<m\le 5 \).

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ 3;4;5 \right\} \). Từ đó  \( S=3+4+5=12 \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *