Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m^2(x^4−x^3)−m(x^3−x^2)−x+e^(x−1)≥0 đúng ∀x∈R

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình \( {{m}^{2}}\left( {{x}^{4}}-{{x}^{3}} \right)-m\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right)-x+{{e}^{x-1}}\ge 0 \) đúng  \( \forall x\in \mathbb{R} \). Số tập con của S là

A. 2

B. 4

C. 3                                   

D. 1

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Đặt  \( t={{3}^{\sqrt{{{x}^{2}}-3x+m}-x}} \) với t > 0, bất phương trình đã cho trở thành  \( {{t}^{2}}+\frac{2}{9}t-\frac{1}{27}<0\Leftrightarrow -3<t<\frac{1}{9} \).

Do đó:  \( 0<t<\frac{1}{9}\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-3x+m}-x<-2 \) \( \Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-3x+m}

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x>0 \\  & {{x}^{2}}-3x+m\ge 0 \\ & {{x}^{2}}-3x+m<{{x}^{2}}-4x+4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x>2 \\  & {{x}^{2}}-3x+m\ge 0 \\  & x<4-m \\ \end{align} \right.\text{ }\left( I \right) \).

Để bất phương trình đề bài cho có nghiệm thì hệ bất phương trình (I) có nghiệm ta đặt

\( \left\{ \begin{align} & x>2\text{ }(1) \\ & {{x}^{2}}-3x+m\ge 0\text{ }(2) \\  & x<4-m\text{ }(3) \\ \end{align} \right. \)

Điều kiện cần: Từ (1) và (3), ta có:  \( 4-m>2\Leftrightarrow m<2 \)

Do m là số nguyên dương nên m = 1.

Điều kiện đủ: Với m = 1, hệ bất phương trình (I) trở thành  \( \left\{ \begin{align} & x>2 \\  & {{x}^{2}}-3x+1\ge 0 \\  & x<3 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 2<x<3 \\  & x<\frac{3-\sqrt{5}}{2}\vee x>\frac{3+\sqrt{5}}{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \frac{3+\sqrt{5}}{2}<x<3 \)

Do đó, hệ bất phương trình (I) có nghiệm.

Vậy m = 1.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *