Gọi S là tập hợp những giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị trên R: f(x)=1/4m^2.e^4x+1/3m.e^3x−1/2e^2x−(m^2+m−1)e^x. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

\({f}'(x)={{m}^{2}}.{{e}^{4x}}=m.{{e}^{3x}}-{{e}^{2x}}-\left( {{m}^{2}}+m-1 \right){{e}^{x}}\)\(={{e}^{x}}\left( {{m}^{2}}.{{e}^{3x}}+m.{{e}^{2x}}-{{e}^{x}}-{{m}^{2}}-m+1 \right)=0\)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}.{{e}^{3x}}+m.{{e}^{2x}}-{{e}^{x}}-{{m}^{2}}-m+1=0\)

Đặt \(t={{e}^{x}}>0\), ta có:

Ta có:  \( {{m}^{2}}{{t}^{3}}+m{{t}^{2}}-t-{{m}^{2}}-m+1=0 \) \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}\left( {{t}^{3}}-1 \right)+m\left( {{t}^{2}}-1 \right)+1-t=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left[ {{m}^{2}}\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)+m\left( t+1 \right)-1 \right]=0 \) \( \Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left[ {{m}^{2}}{{t}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+m \right)t+{{m}^{2}}+m-1 \right]=0 \)

Điều kiện cần đề hàm số không có cực trị thì phương trình  \( {{m}^{2}}{{t}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+m \right)t+{{m}^{2}}+m-1=0 \) có nghiệm t = 1

 \( \Leftrightarrow 3{{m}^{2}}+2m-1=0\Leftrightarrow m=-1\vee m=\frac{1}{3} \)

Thử lại ta thấy với hai giá trị m trên ta đều có nghiệm đơn t = 1.

Vậy hai giá trị  \( m=-1,m=\frac{1}{3} \) thỏa mãn.