Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=1/3x^3−2x^2+mx+3 có hai điểm cực trị x1,x2≤4. Số phần tử của S bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( {y}’={{x}^{2}}-4x+m  \)

Hàm số có hai điểm cực trị x₁, x₂ thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow {\Delta }’>0\Leftrightarrow 4-m>0\Leftrightarrow m<4 \)

Khi đó giả sử  \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \),  \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{x}_{1}}=2-\sqrt{4-m} \\ & {{x}_{2}}=2+\sqrt{4-m} \\ \end{align} \right. \)

Yêu cầu bài toán trở thành  \( {{x}_{2}}\le 4\Leftrightarrow 2+\sqrt{4-m}\le 4\Leftrightarrow 0\le m\le 4 \)

Kết hợp với m < 4 ta được:  \( 0\le m<4 \). Do m nguyên  \( nên m\in \left\{ 0;1;2;3 \right\} \).

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.