Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m sao cho hàm số y=x^3−3mx^2+27x+3m−2 đạt cực trị tại x1,x2 thỏa mãn |x1−x2|≤5. Biết S=(a;b]. Tính T=2b−a

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( {y}’=3{{x}^{2}}-6mx+27 \),  \( {y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+9=0 \)  (1)

Theo giả thiết hàm số đạt cực trị tại x₁, x₂  \( \Leftrightarrow  \) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow {\Delta }’>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m>3 \\  & m<-3 \\ \end{align} \right.\text{  }(*) \)

Với điều kiện (*) thì phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂, theo Viet ta có:  \( \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+x=2m \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=9 \\ \end{align} \right. \)

Ta lại có  \( \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\le 5\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}\le 25 \) \( \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}-25\le 0 \)

 \( \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-61\le 0\Leftrightarrow -\frac{\sqrt{61}}{2}\le m\le \frac{\sqrt{61}}{2} \)  (**)

Kết hợp (*), (**) và điều kiện m dương ta được:  \( 3<m\le \frac{\sqrt{61}}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=3 \\  & b=\frac{\sqrt{61}}{2} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow T=2b-a=\sqrt{61}-3 \)