Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m sao cho hàm số \( y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+27x+3m-2 \) đạt cực trị tại \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \) thỏa mãn \( \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\le 5 \). Biết \( S=\left( a;b \right] \). Tính \( T=2b-a \).
A. \( T=\sqrt{51}+6 \)
B. \( T=\sqrt{61}+3 \)
C. \( T=\sqrt{61}-3 \)
D. \( T=\sqrt{51}-6 \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Ta có: \( {y}’=3{{x}^{2}}-6mx+27 \), \( {y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+9=0 \) (1)
Theo giả thiết hàm số đạt cực trị tại x1, x2 \( \Leftrightarrow \) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow {\Delta }’>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m>3 \\ & m<-3 \\ \end{align} \right.\text{ }(*) \)
Với điều kiện (*) thì phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2, theo Viet ta có: \( \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+x=2m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=9 \\ \end{align} \right. \)
Ta lại có \( \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\le 5\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}\le 25 \) \( \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}-25\le 0 \)
\( \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-61\le 0\Leftrightarrow -\frac{\sqrt{61}}{2}\le m\le \frac{\sqrt{61}}{2} \) (**)
Kết hợp (*), (**) và điều kiện m dương ta được: \( 3<m\le \frac{\sqrt{61}}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=3 \\ & b=\frac{\sqrt{61}}{2} \\ \end{align} \right. \)
\( \Rightarrow T=2b-a=\sqrt{61}-3 \)
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!