Gọi A là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho tập nghiệm của phương trình x.2^x=x(x-m+1)+m(2^x-1) có hai phần tử

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Phương trình: \(x{{.2}^{x}}=x\left( x-m+1 \right)+m\left( {{2}^{x}}-1 \right)\) (1)

$\Leftrightarrow {{2}^{x}}.\left( x-m \right)=\left( x-m \right)\left( x-1 \right)$

$\Leftrightarrow \left( x-m \right)\left( {{2}^{x}}-x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=m \\& {{2}^{x}}-x-1=0\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(2) \\\end{align} \right.$

Đặt $f(x)={{2}^{x}}-x-1\Rightarrow {f}'(x)={{2}^{x}}\ln 2-1$

$\Rightarrow {f}'(x)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\left( \frac{1}{\ln 2} \right)$

Bảng biến thiên của hàm số f(x):

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình f(x) = 0 (2) có nhiều nhất 2 nghiệm

Mà f(0) = f(1) = 0.

$\Rightarrow $ phương trình (2) có đúng 2 nghiệm x = 0; x = 1.

$\Rightarrow $  phương trình (1) có các nghiệm là x = 0; x = 1; x = m.

Để tập nghiệm của phương trình (1) có hai phần tử $\Rightarrow \left[ \begin{align} & m=0 \\ & m=1 \\\end{align} \right.$

$\Rightarrow $ Số phần tử của A bằng 2.