Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x)=−x^3+3x−4 và M(xO;0) là điểm trên trục hoành sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất, đặt T=4xO+2015

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \).

Đạo hàm:  \( {f}'(x)=-3{{x}^{2}}+3 \).

Xét  \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+3=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1\Rightarrow y=-2 \\  & x=-1\Rightarrow y=-6 \\ \end{align} \right. \)

Đặt  \( A\left( 1;-2 \right) \) và  \( B\left( -1;-6 \right) \).

Ta thấy hai điểm A và B nằm cùng phía với trục hoành.

Gọi  \( {A}'(1;2) \) là điểm đối xứng với điểm A qua trục hoành. Chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ba điểm B, M và A’ thẳng hàng.

Ta có:  \( \overrightarrow{A’M}=\left( {{x}_{O}}-1;-2 \right) \) và  \( \overrightarrow{A’B}=\left( -2;-8 \right) \)

 \( \Rightarrow \frac{{{x}_{O}}-1}{-2}=\frac{-2}{-8}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\Rightarrow M\left( \frac{1}{2};0 \right) \)

Vậy  \( T=4.\frac{1}{2}+2015=2017 \).