Giải phương trình: tanxsin2x−2sin2x=3(cos2x+sinxcosx)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \cos x\ne 0 \).

Chia hai vế của phương trình (*) cho  \( {{\cos }^{2}}x\ne 0 \):

(*) \( \Leftrightarrow {{\tan }^{3}}x-2{{\tan }^{2}}x=\frac{3({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x+\sin x\cos x)}{{{\cos }^{2}}x} \)

 \( \Leftrightarrow {{\tan }^{3}}x-2ta{{n}^{2}}x=3(1-{{\tan }^{2}}x+\tan x)\Leftrightarrow {{\tan }^{3}}x+ta{{n}^{2}}x-3tanx-3=0 \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\  & {{t}^{3}}+{{t}^{2}}-3t-3=0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\  & (t+1)({{t}^{2}}-3)=0 \\ \end{align} \right.\)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \tan x=-1 \\  & \tan x=\pm \sqrt{3} \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi  \\  & x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).