Giải phương trình: tan^2x(1−sin^3x)+cos^3x−1=0

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \cos x\ne 0\Leftrightarrow \sin x\ne \pm 1 \).

Lúc đó (*) \( \Leftrightarrow \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}(1-{{\sin }^{3}}x)+{{\cos }^{3}}x-1=0 \)

 \( \Leftrightarrow (1-{{\cos }^{2}}x)(1-{{\sin }^{3}}x)-(1-{{\cos }^{3}}x)(1-{{\sin }^{2}}x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow (1-\cos x)(1+\cos x)(1-{{\sin }^{3}}x)(1+\sin x+{{\sin }^{2}}x) \)

 \( -(1-\cos x)(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)(1-\sin x)(1+\sin x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow (1-\cos x)(1-\sin x)\left[ (1+\cos x)(1+\sin x+{{\sin }^{2}}x)-(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)(1+\sin x) \right]=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 1-\cos x=0 \\  & 1-\sin x=0 \\  & (1+\cos x)(1+\sin x+{{\sin }^{2}}x)-(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)(1+\sin x)=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=1\text{ }(n) \\  & \sin x=1\text{ }(\ell ) \\  & 1+\sin x+{{\sin }^{2}}x+\cos x+\cos x.\sin x+\cos x.{{\sin }^{2}}x \\  & -(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x+\sin x+\cos x\sin x+{{\cos }^{2}}x\sin x)=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=1\begin{matrix}   {} & {} & {} & {}  \\\end{matrix}(1) \\  & {{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x\cos x-{{\cos }^{2}}x-\sin x{{\cos }^{2}}x=0\begin{matrix}   {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right.\).

+ Giải  \( (1)\Leftrightarrow x=k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Giải  \( \Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x-co{{s}^{2}}x+\sin x\cos x(\sin x-\cos x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow (\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)+\sin x\cos x(\sin x-\cos x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow (\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x+\sin x\cos x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x-\cos x=0\begin{matrix}   {} & {} & {} & {}  \\\end{matrix}(3) \\  & \sin x+\cos x+\sin x\cos x=0\begin{matrix}   {} & (4)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

Với phương trình  \( (3)\Leftrightarrow \sin x=\cos x\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Với phương trình (4), ta đặt  \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos x\left( x-\frac{\pi }{4} \right) \) (điều kiện  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \) và  \( t\ne \pm 1 \)).

 \( \Rightarrow {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x \).

Ta được phương trình:  \( t+\frac{{{t}^{2}}-1}{2}=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=-1-\sqrt{2}\text{ }(\ell ) \\  & t=-1+\sqrt{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

Vậy  \( \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}-1\Leftrightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x-\frac{\pi }{4}=\arccos \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\  & x-\frac{\pi }{4}=-\arccos \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{4}+\arccos \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\  & x=\frac{\pi }{4}-\arccos \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).