Giải phương trình: \( {{\tan }^{2}}x(1-{{\sin }^{3}}x)+{{\cos }^{3}}x-1=0 \) (*)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \( \cos x\ne 0\Leftrightarrow \sin x\ne \pm 1 \).
Lúc đó (*) \( \Leftrightarrow \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}(1-{{\sin }^{3}}x)+{{\cos }^{3}}x-1=0 \)
\( \Leftrightarrow (1-{{\cos }^{2}}x)(1-{{\sin }^{3}}x)-(1-{{\cos }^{3}}x)(1-{{\sin }^{2}}x)=0 \)
\( \Leftrightarrow (1-\cos x)(1+\cos x)(1-{{\sin }^{3}}x)(1+\sin x+{{\sin }^{2}}x) \)
\( -(1-\cos x)(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)(1-\sin x)(1+\sin x)=0 \)
\( \Leftrightarrow (1-\cos x)(1-\sin x)\left[ (1+\cos x)(1+\sin x+{{\sin }^{2}}x)-(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)(1+\sin x) \right]=0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 1-\cos x=0 \\ & 1-\sin x=0 \\ & (1+\cos x)(1+\sin x+{{\sin }^{2}}x)-(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)(1+\sin x)=0 \\ \end{align} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=1\text{ }(n) \\ & \sin x=1\text{ }(\ell ) \\ & 1+\sin x+{{\sin }^{2}}x+\cos x+\cos x.\sin x+\cos x.{{\sin }^{2}}x \\ & -(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x+\sin x+\cos x\sin x+{{\cos }^{2}}x\sin x)=0 \\ \end{align} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=1\begin{matrix} {} & {} & {} & {} \\\end{matrix}(1) \\ & {{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x\cos x-{{\cos }^{2}}x-\sin x{{\cos }^{2}}x=0\begin{matrix} {} & (2) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right.\).
+ Giải \( (1)\Leftrightarrow x=k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
+ Giải \( \Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x-co{{s}^{2}}x+\sin x\cos x(\sin x-\cos x)=0 \)
\( \Leftrightarrow (\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)+\sin x\cos x(\sin x-\cos x)=0 \)
\( \Leftrightarrow (\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x+\sin x\cos x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x-\cos x=0\begin{matrix} {} & {} & {} & {} \\\end{matrix}(3) \\ & \sin x+\cos x+\sin x\cos x=0\begin{matrix} {} & (4) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).
Với phương trình \( (3)\Leftrightarrow \sin x=\cos x\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
Với phương trình (4), ta đặt \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos x\left( x-\frac{\pi }{4} \right) \) (điều kiện \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \) và \( t\ne \pm 1 \)).
\( \Rightarrow {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x \).
Ta được phương trình: \( t+\frac{{{t}^{2}}-1}{2}=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-1-\sqrt{2}\text{ }(\ell ) \\ & t=-1+\sqrt{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)
Vậy \( \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}-1\Leftrightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x-\frac{\pi }{4}=\arccos \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ & x-\frac{\pi }{4}=-\arccos \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{4}+\arccos \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ & x=\frac{\pi }{4}-\arccos \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!