Giải phương trình: sin2x(cotx+tan2x)=4cos^2x

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align}  & \cos 2x\ne 0 \\  & \sin x\ne 0 \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \cos 2x\ne 0 \\  & \cos 2x\ne 1 \\ \end{align} \right.  \).

Ta có:  \( \cot x+\tan 2x=\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x}{\sin x\cos 2x}=\frac{\cos x}{\sin x\cos 2x} \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow 2\sin x.\cos x\left( \frac{\cos x}{\sin x\cos 2x} \right)=4{{\cos }^{2}}x\Leftrightarrow \frac{{{\cos }^{2}}x}{\cos 2x}=2{{\cos }^{2}}x \)

 \( \Leftrightarrow \frac{\frac{1}{2}(\cos 2x+1)}{\cos 2x}=2.\frac{1}{2}(\cos 2x+1)\Leftrightarrow \cos 2x+1=2\cos 2x(\cos 2x+1) \)

 \( \Leftrightarrow (\cos 2x+1)(2\cos 2x-1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 2x=-1\text{ }(n) \\  & \cos 2x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2x=\pi +k2\pi  \\  & 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{2}+k\pi  \\  & x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).