Giải phương trình: sin2x(cotx+tan2x)=4cos^2x

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align}  & \sin x\ne 0 \\  & \cos 2x\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \cos x\ne \pm 1 \\  & 2{{\cos }^{2}}x-1\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \cos x\ne \pm 1 \\  & \cos x\ne \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} \right. \).

Ta có:  \( \cot x+\tan 2x=\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x}{\sin x\cos 2x}=\frac{\cos x}{\sin x\cos 2x} \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x\left( \frac{\cos x}{\sin x\cos 2x} \right)=4{{\cos }^{2}}x\Leftrightarrow \frac{{{\cos }^{2}}x}{\cos 2x}=2{{\cos }^{2}}x \) (Do  \( \sin x\ne 0 \))

 \( \Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x\left( \frac{1}{\cos 2x}-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\  & \frac{1}{\cos 2x}=2 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=0\text{ }(\text{nhận do}\cos x\ne \frac{\sqrt{2}}{2},\cos x\ne 1) \\  & \cos 2x=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}\text{ }(\text{nhận } \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{2}+k\pi  \\  & x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).