Giải phương trình: sin2x+2cos2x=1+sinx−4cosx

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x+2(2{{\cos }^{2}}x-1)=1+\sin x-4\cos x \)

 \( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x-\sin x+4{{\cos }^{2}}x+4\cos x-3=0 \)

 \( \Leftrightarrow 2\sin x\left( \cos x-\frac{1}{2} \right)+4\left( \cos x-\frac{1}{2} \right)\left( \cos x+\frac{3}{2} \right)=0\Leftrightarrow \left( \cos x-\frac{1}{2} \right)\left( 2\sin x+4\cos x+6 \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\  & 2\sin +4\cos x=-6\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{2}^{2}}+{{4}^{2}}<{{6}^{2}}) \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi  \).