Giải phương trình: \( \frac{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}{\sin 2x}=\frac{1}{2}(\tan x+\cot 2x) \)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \sin 2x\ne 0 \).

Ta có:  \( {{\sin }^{4}}x+co{{s}^{4}}x={{({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x=1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x \).

 \( \tan x+\cot 2x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{\sin 2x\sin x+\cos x\cos 2x}{\cos x\sin 2x}=\frac{\cos (2x-x)}{\cos x\sin 2x}=\frac{1}{\sin 2x} \)

Do đó: (*) \( \Leftrightarrow \frac{1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x}{\sin 2x}=\frac{1}{2\sin 2x}\Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}2x=1 \) (nhận do  \( \sin 2x\ne 0 \))

 \( \Leftrightarrow {{\cos }^{2}}2x=0\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).