Giải phương trình: \( \frac{{{\cot }^{2}}x-{{\tan }^{2}}x}{\cos 2x}=16(1+\cos 4x) \)

Hướng dẫn giải:

Ta có:  \( {{\cot }^{2}}x-{{\tan }^{2}}x=\frac{{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{2}}x}-\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{{{\cos }^{4}}x-si{{n}^{4}}x}{{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}=\frac{4\cos 2x}{{{\sin }^{2}}2x} \).

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align} & \sin 2x\ne 0 \\  & \cos 2x\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 4x\ne 0 \).

Lúc đó (*) \( \Leftrightarrow \frac{4}{{{\sin }^{2}}2x}=16(1+\cos 4x)\Leftrightarrow 1=4(1+\cos 4x){{\sin }^{2}}2x \)

 \( \Leftrightarrow 1=2(1+\cos 4x)(1-\cos 4x)\Leftrightarrow 1=2(1-{{\cos }^{2}}4x)=2{{\sin }^{2}}4x \)

 \( \Leftrightarrow 1=1-\cos 8x\Leftrightarrow \cos 8x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{8},k\in \mathbb{Z} \).