Giải phương trình: \( \frac{3(\sin x+\tan x)}{\tan x-\sin x}-2(1+\cos x)=0 \)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \tan x-\sin x\ne 0\Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}-\sin x\ne 0\Leftrightarrow \frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}\ne 0 \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \sin x\ne 0 \\  & \cos x\ne 0 \\  & \cos x\ne 1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0 \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow \frac{3(\sin x+\tan x).\cot x}{(\tan x-\sin x).\cot x}-2(1+\cos x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{3(\cos x+1)}{1-\cos x}-2(1+\cos x)=0\Leftrightarrow \frac{3}{1-\cos x}-2=0 \) (do  \( \sin x\ne 0 \) nên  \( \cos x+1\ne 0 \))

 \( \Leftrightarrow 1+2\cos x=0\Leftrightarrow \cos x=-\frac{1}{2} \) (nhận so với điều kiện)

 \( \Leftrightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).