Giải phương trình: cotx−1=cos2x/1+tanx+sin^2x−1/2sin2x

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align} & \sin 2x\ne 0 \\  & \tan x\ne -1 \\ \end{align} \right. \).

Đặt  \( t=\tan x \) thì (*) thành:

 \( \frac{1}{t}-1=\frac{\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}}{1+t}+\frac{1}{2}\left[ 1-\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}} \right]-\frac{1}{2}.\frac{2t}{1+{{t}^{2}}} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1-t}{t}=\frac{1-t}{1+{{t}^{2}}}+\frac{1}{2}.\frac{2{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}-\frac{t}{1+{{t}^{2}}}\text{ }(do\text{ }t\ne -1) \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1-t}{t}=\frac{{{t}^{2}}-2t+1}{1+{{t}^{2}}}=\frac{{{(1-t)}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}\Leftrightarrow (1-t)(1+{{t}^{2}})={{(1-t)}^{2}}t \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 1-t=0 \\  & 1+{{t}^{2}}=(1-t)t \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=1\text{ }(n) \\  & 2{{t}^{2}}-t+1=0\text{ }(\text{vô nghiệm}) \\ \end{align} \right. \) .

Vậy (*) \( \Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi \text{ }(\text{nhận }do\text{ }\sin 2x=1\ne 0) \).