(KA – 2003) Giải phương trình: \( \cot x-1=\frac{\cos 2x}{1+\tan x}+{{\sin }^{2}}x-\frac{1}{2}\sin 2x \) (*)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \( \sin 2x\ne 0 \) và \( \tan x\ne -1 \).
Ta có: \( \frac{\cos 2x}{1+\tan x}=\frac{{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}=\frac{\cos x({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x)}{\cos x+\sin x} \)
\( =\cos x(\cos x-\sin x) \) (do \( \tan x=-1 \) nên, \( \sin x+\cos x\ne 0 \))
Do đó: (*) \( \Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x}-1=({{\cos }^{2}}x-\sin x\cos x)+{{\sin }^{2}}x-\frac{1}{2}\sin 2x \)
\( \Leftrightarrow \frac{\cos x-\sin x}{\sin x}=1-\sin 2x\Leftrightarrow \cos x-\sin x=\sin x{{(\cos x-\sin x)}^{2}} \)
\( \Leftrightarrow (\cos x-\sin x)\left[ 1-\sin x(\cos x-\sin x) \right]=0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x-\sin x=0\begin{matrix} {} & {} & {} & (1) \\\end{matrix} \\ & 1-\sin x(\cos x-\sin x)=0\begin{matrix} {} & (2) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right.\).
+ Giải (1) \( \Leftrightarrow \sin x=\cos x\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
+ Giải (2): Chia hai vế phương trình (2) cho \( {{\cos }^{2}}x\ne 0 \) ta được:
\( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{\sin x}{\cos x}-{{\tan }^{2}}x\Leftrightarrow 2{{\tan }^{2}}x-\tan x+1=0 \) (vô nghiệm).
Vậy nghiệm của phương trình (*) là \( x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
Lưu ý: Có thể làm cách khác
(**) \( \Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}(1-\cos 2x)=0\Leftrightarrow 3=\sin 2x+\cos 2x \)
\( \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=3\Leftrightarrow \sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{3}{\sqrt{2}} \): vô nghiệm.
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!