Giải phương trình: cotx−1=cos2x/(1+tanx)+sin2x−1/2sin2x

(KA – 2003) Giải phương trình: \( \cot x-1=\frac{\cos 2x}{1+\tan x}+{{\sin }^{2}}x-\frac{1}{2}\sin 2x \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \sin 2x\ne 0 \) và  \( \tan x\ne -1 \).

Ta có:  \( \frac{\cos 2x}{1+\tan x}=\frac{{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}=\frac{\cos x({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x)}{\cos x+\sin x} \)

 \( =\cos x(\cos x-\sin x) \) (do  \( \tan x=-1 \) nên,  \( \sin x+\cos x\ne 0 \))

Do đó: (*) \( \Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x}-1=({{\cos }^{2}}x-\sin x\cos x)+{{\sin }^{2}}x-\frac{1}{2}\sin 2x \)

 \( \Leftrightarrow \frac{\cos x-\sin x}{\sin x}=1-\sin 2x\Leftrightarrow \cos x-\sin x=\sin x{{(\cos x-\sin x)}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow (\cos x-\sin x)\left[ 1-\sin x(\cos x-\sin x) \right]=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x-\sin x=0\begin{matrix}   {} & {} & {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & 1-\sin x(\cos x-\sin x)=0\begin{matrix}   {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right.\).

+ Giải (1) \( \Leftrightarrow \sin x=\cos x\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Giải (2): Chia hai vế phương trình (2) cho  \( {{\cos }^{2}}x\ne 0 \) ta được:

 \( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{\sin x}{\cos x}-{{\tan }^{2}}x\Leftrightarrow 2{{\tan }^{2}}x-\tan x+1=0 \) (vô nghiệm).

Vậy nghiệm của phương trình (*) là  \( x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Lưu ý: Có thể làm cách khác

(**) \( \Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}(1-\cos 2x)=0\Leftrightarrow 3=\sin 2x+\cos 2x \)

 \( \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=3\Leftrightarrow \sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{3}{\sqrt{2}} \): vô nghiệm.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *