Giải phương trình: cotx−1=cos2x/(1+tanx)+sin2x−1/2sin2x

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \sin 2x\ne 0 \) và  \( \tan x\ne -1 \).

Ta có:  \( \frac{\cos 2x}{1+\tan x}=\frac{{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}=\frac{\cos x({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x)}{\cos x+\sin x} \)

 \( =\cos x(\cos x-\sin x) \) (do  \( \tan x=-1 \) nên,  \( \sin x+\cos x\ne 0 \))

Do đó: (*) \( \Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x}-1=({{\cos }^{2}}x-\sin x\cos x)+{{\sin }^{2}}x-\frac{1}{2}\sin 2x \)

 \( \Leftrightarrow \frac{\cos x-\sin x}{\sin x}=1-\sin 2x\Leftrightarrow \cos x-\sin x=\sin x{{(\cos x-\sin x)}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow (\cos x-\sin x)\left[ 1-\sin x(\cos x-\sin x) \right]=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x-\sin x=0\begin{matrix}   {} & {} & {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & 1-\sin x(\cos x-\sin x)=0\begin{matrix}   {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right.\).

+ Giải (1) \( \Leftrightarrow \sin x=\cos x\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Giải (2): Chia hai vế phương trình (2) cho  \( {{\cos }^{2}}x\ne 0 \) ta được:

 \( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{\sin x}{\cos x}-{{\tan }^{2}}x\Leftrightarrow 2{{\tan }^{2}}x-\tan x+1=0 \) (vô nghiệm).

Vậy nghiệm của phương trình (*) là  \( x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Lưu ý: Có thể làm cách khác

(**) \( \Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}(1-\cos 2x)=0\Leftrightarrow 3=\sin 2x+\cos 2x \)

 \( \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=3\Leftrightarrow \sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{3}{\sqrt{2}} \): vô nghiệm.