Giải phương trình: cos^3x+sin^2x=cos2x

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (\cos x+\sin x)(1-\sin x\cos x)={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \)

 \( \Leftrightarrow (\sin x+\cos x)\left[ 1-\sin x\cos x-(\cos x-\sin x) \right]=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x+\cos x=0\begin{matrix}   {} & {} & {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & \sin x-\cos x-\sin x\cos x+1=0\begin{matrix}   {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right.\)

+ Giải  \( (1)\Leftrightarrow \tan x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Giải (2): Đặt  \( t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\) với điều kiện  \( \left| t \right|\le \sqrt{2}  \)

Thì  \( {{t}^{2}}=-1-2\sin x\cos x \).

(2) thành:  \( t-\frac{1-{{t}^{2}}}{2}+1=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t+1=0\Leftrightarrow t=-1 \)

 \( \Rightarrow \sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-1\Leftrightarrow \sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \left( -\frac{\pi }{4} \right) \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\  & x-\frac{\pi }{4}=\pi +\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=k2\pi  \\  & x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).