Giải phương trình: cos3x.tan5x=sin7x

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \cos 5x\ne 0 \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow \cos 3x.\frac{\sin 5x}{\cos 5x}=\sin 7x\Leftrightarrow \sin 5x.\cos 3x=\sin 7x.\cos 5x \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sin 8x+\sin 2x)=\frac{1}{2}(\sin 12x+\sin 2x)\Leftrightarrow \sin 8x=\sin 12x \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 12x=8x+k2\pi  \\  & 12x=\pi -8x+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{k\pi }{2} \\  & x=\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

So sánh với điều kiện:

+  \( x=\frac{k\pi }{2} \) thì  \( \cos 5x=\cos \frac{5k\pi }{2}=\cos \frac{k\pi }{2} \) (loại nếu k lẻ)

+  \( x=\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10} \) thì  \( \cos 5x=\cos \left( \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \right)\ne 0 \) (nhận)

Do đó: (*) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=h\pi  \\  & x=\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10} \\ \end{align} \right.,\text{ }h,k\in \mathbb{Z} \).