Giải phương trình: cos3x−4sin3x−3cosxsin2x+sinx=0

Hướng dẫn giải:

+ Xét  \( x=\frac{\pi }{2}+k\pi \)  thì  \( \cos x=0 \) và  \( \sin x=\pm 1 \) thì (*) vô nghiệm.

+ Do  \( \cos x=0 \) không phải là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho  \( {{\cos }^{3}}x\ne 0 \) ta được:

(*) \( \Leftrightarrow 1-4{{\tan }^{3}}x-3{{\tan }^{2}}x+\tan x(1+{{\tan }^{2}}x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow 3{{\tan }^{3}}x+3ta{{n}^{2}}x-\tan x-1=0\Leftrightarrow (\tan x+1)(3{{\tan }^{2}}x-1)=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \tan x=-1 \\  & {{\tan }^{2}}x=\frac{1}{3} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \tan x=-1 \\  & \tan x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi  \\  & x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).