Giải phương trình: cos2x+5=2(2−cosx)(sinx−cosx)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow ({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x)+5=2(2-\cos x)(\sin x-\cos x) \)

 \( \Leftrightarrow (\sin x-\cos x)\left[ 2(2-\cos x)+(\sin x+\cos x) \right]-5=0 \)

 \( \Leftrightarrow (\sin x-\cos x)(\sin x-\cos x+4)-5=0 \)  (**)

Đặt  \( t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \) với điều kiện  \( \left| t \right|\le 2 \).

(**) thành:  \( t(t+4)-5=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+4t-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1\text{ }(n) \\  & t=-5\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

 \( \Rightarrow \sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4} \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\  & x-\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{2}+k2\pi  \\  & x=\pi +k2\pi  \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z} \).