Giải phương trình: cos^23x.cos2x−cos^2x=0

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \frac{1+\cos 6x}{2}.\cos 2x-\frac{1+\cos 2x}{2}=0\Leftrightarrow \cos 6x.\cos 2x-1=0 \)   (**)

Cách 1:

(**) \( \Leftrightarrow (4{{\cos }^{3}}2x-3\cos 2x)\cos 2x-1=0\Leftrightarrow 4{{\cos }^{4}}2x-3\cos 2x-1=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{\cos }^{2}}2x=1\text{ }(n) \\  & {{\cos }^{2}}2x=-\frac{1}{4}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x=0\Leftrightarrow 2x=k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Cách 2:

(**) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\cos 8x+\cos 4x)-1=0\Leftrightarrow \cos 8x+\cos 4x-2=0 \)

 \( \Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}4x+cos4x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 4x=1\text{ }(n) \\  & \cos 4x=-\frac{3}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow 4x=k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Cách 3: Phương trình lượng giác không mẫu mực:

(**) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 6x=\cos 2x=1 \\  & \cos 6x=\cos 2x=-1 \\ \end{align} \right. \)

Cách 4:  \( \cos 8x+\cos 4x-2=0\Leftrightarrow \cos 8x+\cos 4x=2 \)

 \( \Leftrightarrow \cos 8x=\cos 4x=1\Leftrightarrow \cos 4x=1 \).