Giải phương trình: 8cos^3(x+π/3)=cos3x

Hướng dẫn giải:

Đặt  \( t=x+\frac{\pi }{3}\Leftrightarrow x=t-\frac{\pi }{3} \) thì:  \( \cos 3x=\cos (3t-\pi )=\cos (\pi -3t)=-\cos 3t \).

Vậy (*) trở thành: \(8{{\cos }^{3}}t=-\cos 3t\Leftrightarrow 8{{\cos }^{3}}t=-4{{\cos }^{3}}t+3\cos t\)

\(\Leftrightarrow 12{{\cos }^{3}}t-3\cos t=0\Leftrightarrow 3\cos t(4{{\cos }^{2}}t-1)=0\Leftrightarrow 3\cos t\left[ 2(1+\cos 2t)-1 \right]=0\)

\(\Leftrightarrow \cos t(2\cos 2t+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos t=0 \\  & \cos t=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3} \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=\frac{\pi }{2}+k\pi  \\  & t=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi  \\ \end{align} \right. \)

Mà  \( x=t-\frac{\pi }{3} \), suy ra:  \( \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi  \\  & x=k\pi  \\  & x=\frac{2\pi }{3}+k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \)