Giải phương trình: 3tan^3x−tanx+3(1+sinx)/cos^2x=8cos^2(π/4−x/2)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \cos x\ne 0\Leftrightarrow \sin x\ne \pm 1 \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow \tan x(3{{\tan }^{2}}x-1)+3(1+\sin x)(1+{{\tan }^{2}}x)=4\left[ 1+\cos \left( \frac{\pi }{2}-x \right) \right]=4(1+\sin x) \)

\(\Leftrightarrow \tan x(3{{\tan }^{2}}x-1)+(1+\sin x)\left[ 3(1+{{\tan }^{2}}x)-4 \right]=0\)

\(\Leftrightarrow (3{{\tan }^{2}}x-1)(\tan x+1+\sin x)=0\Leftrightarrow (3{{\tan }^{2}}x-1)(\sin x+\cos x+\sin x\cos x)=0\)

 \( \Rightarrow \left[ \begin{align} & 3{{\tan }^{2}}x=1\begin{matrix}  {} & {} & {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & \sin x+\cos x+\sin x\cos x=0\begin{matrix}   {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \)

+ Giải (1) \( \Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \tan x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Giải (2): Đặt  \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \) và  \( t\ne \pm 1 \).

Thì  \( {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x \)

(2) thành:  \( t+\frac{{{t}^{2}}-1}{2}=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-1-\sqrt{2}\text{ }(\ell ) \\  & t=-1+\sqrt{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow \sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}-1\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x+\frac{\pi }{4}=\arcsin \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\  & x+\frac{\pi }{4}=\pi -\arcsin \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{4}+\arcsin \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\  & x=-\frac{3\pi }{4}-\arcsin \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).