Giải phương trình: 3(cotx−cosx)−5(tanx−sinx)=2

Giải phương trình: \( 3(\cot x-\cos x)-5(\tan x-\sin x)=2 \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Với điều kiện  \( \sin 2x\ne 0 \), nhân 2 vế phương trình cho  \( \sin x\cos x\ne 0 \) thì:

(*) \( \Leftrightarrow 3{{\cos }^{2}}x(1-sinx)-5{{\sin }^{2}}x(1-cosx)=2sinxcosx \)

 \( \Leftrightarrow 3\cos x\left[ \cos x(1-\sin x)+\sin x \right]-5\sin x\left[ \sin x(1-\cos x)+\cos x \right]=0 \)

 \( \Leftrightarrow 3\cos x(\cos x-\sin x\cos x+\sin x)-5\sin x(\sin x-\sin x\cos x+\cos x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x+\cos x-\sin x\cos x=0\begin{matrix}   {} & (1)  \\\end{matrix} \\ & 3\cos x-5\sin x=0\begin{matrix}   {} & {} & {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

(Ghi chú:  \( A.B+A.C=A.D\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & A=0 \\  & B+C=D \\ \end{align} \right. \))

+ Giải (1): Đặt  \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \) thì

 \( {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x \) với điều kiện:  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \) và  \( t\ne \pm 1 \).

(1) thành:  \( t-\frac{{{t}^{2}}-1}{2}=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t-1=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1+\sqrt{2}\text{ }(\ell ) \\ & t=1-\sqrt{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

Vậy:  \( \sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1-\sqrt{2}\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1-\sqrt{2}}{2} \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x+\frac{\pi }{4}=\arcsin \left( \frac{1-\sqrt{2}}{2} \right)+k2\pi  \\  & x+\frac{\pi }{4}=\pi -\arcsin \left( \frac{1-\sqrt{2}}{2} \right)+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-\frac{\pi }{4}+\arcsin \left( \frac{1-\sqrt{2}}{2} \right)+k2\pi  \\  & x=\frac{3\pi }{4}-\arcsin \left( \frac{1-\sqrt{2}}{2} \right)+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Giải (2) \( \Leftrightarrow \tan x=\frac{3}{5}\Leftrightarrow x=\arctan \left( \frac{3}{5} \right)+h\pi ,\text{ }h\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *