Giải phương trình: 3(cotx−cosx)−5(tanx−sinx)=2

Giải phương trình: \( 3(\cot x-\cos x)-5(\tan x-\sin x)=2 \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Với điều kiện  \( \sin 2x\ne 0 \), nhân 2 vế phương trình cho  \( \sin x\cos x\ne 0 \) thì:

(*) \( \Leftrightarrow 3{{\cos }^{2}}x(1-sinx)-5{{\sin }^{2}}x(1-cosx)=2sinxcosx \)

 \( \Leftrightarrow 3\cos x\left[ \cos x(1-\sin x)+\sin x \right]-5\sin x\left[ \sin x(1-\cos x)+\cos x \right]=0 \)

 \( \Leftrightarrow 3\cos x(\cos x-\sin x\cos x+\sin x)-5\sin x(\sin x-\sin x\cos x+\cos x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x+\cos x-\sin x\cos x=0\begin{matrix}   {} & (1)  \\\end{matrix} \\ & 3\cos x-5\sin x=0\begin{matrix}   {} & {} & {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

(Ghi chú:  \( A.B+A.C=A.D\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & A=0 \\  & B+C=D \\ \end{align} \right. \))

+ Giải (1): Đặt  \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \) thì

 \( {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x \) với điều kiện:  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \) và  \( t\ne \pm 1 \).

(1) thành:  \( t-\frac{{{t}^{2}}-1}{2}=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t-1=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1+\sqrt{2}\text{ }(\ell ) \\ & t=1-\sqrt{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

Vậy:  \( \sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1-\sqrt{2}\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1-\sqrt{2}}{2} \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x+\frac{\pi }{4}=\arcsin \left( \frac{1-\sqrt{2}}{2} \right)+k2\pi  \\  & x+\frac{\pi }{4}=\pi -\arcsin \left( \frac{1-\sqrt{2}}{2} \right)+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-\frac{\pi }{4}+\arcsin \left( \frac{1-\sqrt{2}}{2} \right)+k2\pi  \\  & x=\frac{3\pi }{4}-\arcsin \left( \frac{1-\sqrt{2}}{2} \right)+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Giải (2) \( \Leftrightarrow \tan x=\frac{3}{5}\Leftrightarrow x=\arctan \left( \frac{3}{5} \right)+h\pi ,\text{ }h\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Fanpage Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Nhân Tài Việt

Fanpage Trung Tâm Gia Sư Dạy Kèm Nhân Tài Việt

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *