Giải phương trình: 3cot^2x+2√2sin^2x=(2+3√2)cosx

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \sin x\ne 0\Leftrightarrow \cos x\ne \pm 1 \).

Chia hai vế (*) cho  \( {{\sin }^{2}}x\ne 0 \), ta được:

(*)\(\Leftrightarrow 3\frac{{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{4}}x}+2\sqrt{2}=(2+3\sqrt{2})\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}\).

Đặt  \( t=\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x} \) ta được phương trình:

 \( 3{{t}^{2}}-(2+3\sqrt{2})t+2\sqrt{2}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=\frac{2}{3} \\  & t=\sqrt{2} \\ \end{align} \right. \).

+ Với  \( t=\frac{2}{3} \), ta có:  \( \frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}=\frac{2}{3} \)

 \( \Leftrightarrow 3\cos x=2(1-{{\cos }^{2}}x)\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x+3\cos x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=-2\text{ }(\ell ) \\  & \cos x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Với  \( t=\sqrt{2} \), ta có:  \( \frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}=\sqrt{2} \)

 \( \Leftrightarrow \cos x=\sqrt{2}(1-{{\cos }^{2}}x)\Leftrightarrow \sqrt{2}{{\cos }^{2}}x+\cos x-\sqrt{2}=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=-\sqrt{2}\text{ }(\ell ) \\  & \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).