Giải phương trình: 2sinx+cotx=2sin2x+1

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \sin x\ne 0\Leftrightarrow \cos x\ne \pm 1 \).

Lúc đó (*) \( \Leftrightarrow 2\sin x+\frac{\cos x}{\sin x}=4\sin x\cos x+1 \)

 \( \Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}x+\cos x=4{{\sin }^{2}}x\cos x+\sin x \)

 \( \Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}x-\sin x-\cos x(4{{\sin }^{2}}x-1)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \sin x(2\sin x-1)-\cos x(2\sin x-1)(2\sin x+1)=0 \)

 \( \Leftrightarrow (2\sin x-1)\left[ \sin x-\cos x(2\sin x+1) \right]=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2\sin x-1=0\begin{matrix}   {} & {} & {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & \sin x-\cos x-\sin 2x=0\begin{matrix}   {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \)

+ Ta có  \( (1)\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2} \) (nhận do  \( \sin x\ne 0 \))

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi  \\  & x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Xét (2): Đặt  \( t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \) và  \( t\ne \pm 1 \)

Thì  \( {{t}^{2}}=1-\sin 2x \).        

Khi đó (2) thành:  \( t-(1-{{t}^{2}})=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t-1=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\text{ }(n) \\  & t=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \)

Do đó:  \( \sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow \sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{-1+\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x-\frac{\pi }{4}=\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\  & x-\frac{\pi }{4}=\pi -\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{4}+\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\  & x=\frac{5\pi }{4}-\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).