Giải phương trình: 2sin^3x−sinx=2cos^3x−cosx+cos2x

Hướng dẫn giải:

(*) \( \Leftrightarrow 2({{\sin }^{3}}x-{{\cos }^{3}}x)-(\sin x-\cos x)+{{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x=0 \)

 \( \Leftrightarrow 2(\sin x-\cos x)({{\sin }^{2}}x+sinxcosx+co{{s}^{2}}x)-(\sin x-\cos x)+(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x-\cos x=0\begin{matrix}  {} & {} & {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & 2(1+\sin x\cos x)-1+(\sin x+\cos x)=0\begin{matrix}  {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right.\)

+  \( (1)\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Xét (2) đặt:  \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\), với điều kiện:  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \) .

Khi đó:  \( {{t}^{2}}=1+\sin 2x \).

Vậy (2) thành:  \( t+({{t}^{2}}-1)+1=0\Leftrightarrow t(t+1)=0\Leftrightarrow t=0\vee t=-1 \)

Với  \( t=0\Rightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0\Leftrightarrow x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{3\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Với  \( t=-1\Rightarrow \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-1\Leftrightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{3\pi }{4} \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi  \\  & x-\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\pi +k2\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).