Giải phương trình: 2/sin^2x+2tan^2x+5tanx+5cotx+4=0

Hướng dẫn giải:

Cách 1: (*) \( \Leftrightarrow 2(1+{{\cot }^{2}}x)+2{{\tan }^{2}}x+5(\tan x+\cot x)+4=0 \)

 \( \Leftrightarrow 2({{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x)+5(\tan x+\cot x)+6=0 \)

 \( \Leftrightarrow 2\left[ {{(\tan x+\cot x)}^{2}}-2 \right]+5(\tan x+\cot x)+6=0 \).

Đặt  \( t=\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x} \), với điều kiện  \( \left| t \right|\ge 2 \).

Ta được phương trình:  \( 2{{t}^{2}}+5t+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=-2\text{ }(n) \\  & t=-\frac{1}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Với  \( t=-2\Rightarrow \frac{2}{\sin 2x}=-2\Leftrightarrow \sin 2x=-1 \)

 \( \Leftrightarrow 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Cách 2: Đặt  \( u=\tan x \) (với điều kiện  \( u\ne 0 \)).

Phương trình (*) thành:  \( 2+\frac{2}{{{u}^{2}}}+2{{u}^{2}}+5u+\frac{5}{u}+4=0 \)

 \( \Leftrightarrow 2+2{{u}^{4}}+5{{u}^{3}}+5u+6{{u}^{2}}=0\Leftrightarrow (u+1)(2{{u}^{3}}+3{{u}^{2}}+3u+2)=0 \)

\(\Leftrightarrow {{(u+1)}^{2}}(2{{u}^{2}}+u+2)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & u=-1\text{ }(n) \\  & 2{{u}^{2}}+u+2=0\text{ }(\text{vô nghiệm }) \\ \end{align} \right.\)

Với  \( u=-1\Rightarrow \tan x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).