Giải phương trình \( \sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\tan x+\cot x \) (*)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \sin x\ne 0 \\ & \cos x\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0 \).
Lúc đó: (*)\(\Leftrightarrow \sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}\)
\( \sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\frac{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x} \).
Đặt \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \) thì:
\( {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2} \) với \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \)và \( {{t}^{2}}\ne 1 \) .
(*) thành \( \sqrt{2}t=\frac{2}{{{t}^{2}}-1}\Leftrightarrow \sqrt{2}{{t}^{3}}-\sqrt{2}t-2=0 \) (Hiển nhiên \( t=\pm 1 \) không là nghiệm)
\( \Leftrightarrow (t-\sqrt{2})(\sqrt{2}{{t}^{2}}+2t+\sqrt{2})=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\sqrt{2} \\ & {{t}^{2}}+\sqrt{2}t+1=0\text{ }(\text{vô nghiệm }) \\ \end{align} \right. \).
Vậy (*) \( \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \)
\( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!