Giải phương trình 2√(sinx+cosx)=tanx+cotx

Giải phương trình \( \sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\tan x+\cot x \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align}  & \sin x\ne 0 \\  & \cos x\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0 \).

Lúc đó: (*)\(\Leftrightarrow \sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}\)

 \( \sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\frac{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x} \).

Đặt  \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \) thì:

 \( {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2} \) với  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \)và  \( {{t}^{2}}\ne 1 \) .

(*) thành  \( \sqrt{2}t=\frac{2}{{{t}^{2}}-1}\Leftrightarrow \sqrt{2}{{t}^{3}}-\sqrt{2}t-2=0 \) (Hiển nhiên  \( t=\pm 1 \) không là nghiệm)

 \( \Leftrightarrow (t-\sqrt{2})(\sqrt{2}{{t}^{2}}+2t+\sqrt{2})=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=\sqrt{2} \\  & {{t}^{2}}+\sqrt{2}t+1=0\text{ }(\text{vô nghiệm }) \\ \end{align} \right. \).

Vậy (*) \( \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \)

 \( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *