Giải phương trình: −1+sin^3x+cos^3x=3/2sin2x

Giải phương trình: \( -1+{{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x=\frac{3}{2}\sin 2x \)  (*)

Hướng dẫn giải:

(*) \( \Leftrightarrow -1+(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)=\frac{3}{2}.2\sin x\cos x \).

Đặt  \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} thì {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x \).

Vậy (*) thành:  \( -1+t\left( 1-\frac{{{t}^{2}}-1}{2} \right)=\frac{3}{2}({{t}^{2}}-1) \)

 \( \Leftrightarrow -2+t(3-{{t}^{2}})=3({{t}^{2}}-1)\Leftrightarrow {{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-3t-1=0 \)

 \( \Leftrightarrow (t-1)({{t}^{2}}+4t+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=1\text{ }(n) \\ & t=-2+\sqrt{3}\text{ }(n) \\  & t=-2-\sqrt{3}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

+ Với  \( t=1\Rightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi }{4} \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\  & x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=k2\pi  \\  & x=\frac{\pi }{2}+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \)

+ Với  \( t=\sqrt{3}-2\Rightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{2}} \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x+\frac{\pi }{4}=\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{2}} \right)+h2\pi  \\  & x+\frac{\pi }{4}=\pi -\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{2}} \right)+h2\pi  \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{4}+\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{2}} \right)+h2\pi  \\  & x=\frac{3\pi }{4}-\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{2}} \right)+h2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }h\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *