Giá trị lớn nhất của m để đường thẳng (d):y=x−m+1 cắt đồ thị hàm số y=x^3+2(m−2)x^2+(8−5m)x+m−5 tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1,x2,x3 thỏa mãn điều kiện x^21+x^22+x^23=20

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:

 \( {{x}^{3}}+2(m-2){{x}^{2}}+(8-5m)x+m-5=x-m+1 \)

 \( \Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left[ {{x}^{2}}+(2m-2)x-m+3 \right]=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{3}}=2 \\  & {{x}^{2}}+(2m-2)x-m+3=0\text{ }(1) \\ \end{align} \right. \)

Đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt  \( \Leftrightarrow  \)phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt  \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \) khác 2

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {\Delta }’={{(m-1)}^{2}}+(m-3)>0 \\  & 4+(2m-2).2-m+3\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m<-1 \\ m>2 \end{array}\right.  \\ m\ne -1 \end{cases} \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m<-1 \\ & m>2 \\ \end{align} \right. \) (2)

Khi đó: \( \left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-(2m-2) \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-m+3 \\ \end{align} \right. \)

Theo giả thiết:  \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=20 \)\(\Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{3}^{2}=20\)

\(\Leftrightarrow {{(2m-2)}^{2}}+2(m-3)+4=20\)

\(\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-3m-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=3 \\  & m=-\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\) (thỏa mãn (2))

Vậy giá trị lớn nhất của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3.