Giá trị lớn nhất của hàm số \( y=\frac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-m}{x+1} \) trên \( \left[ 0;2 \right] \) bằng 5. Tham số m nhận giá trị là:
A. \( -5 \)
B. 1
C. \( -3 \)
D. \( -8 \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Cách 1:
Tập xác định của hàm số: \( D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\} \) \( \Rightarrow \left[ 0;2 \right]\subset D \)
Ta có: \( y=\frac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-m}{x+1} \) \( \Rightarrow {y}’=\frac{2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x+m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \)
\( {y}’=0\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x+m=0 \) \( \Leftrightarrow -\left( 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x \right)=m \) (1).
Ta có: \( y(0)=-m \); \( y(2)=4-\frac{m}{3} \)
Đặt \( g(x)=-\left( 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x \right) \) \( \Rightarrow {g}'(x)=-\left( 6{{x}^{2}}+8x+2 \right)=0 \) \( \Leftrightarrow x=-1\vee x=-\frac{1}{3} \)
Trên \( \left[ 0;2 \right] \) ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta có: \( g(x)\in \left[ -36;0 \right],\forall x\in \left[ 0;2 \right] \)
Trường hợp 1: m > 0 \( \Rightarrow \) phương trình (1) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \)phương trình \( {y}’=0 \) vô nghiệm.
Dễ thấy \( y(0)=-m<y(2)=4-\frac{m}{3} \) khi \( m>0 \).
Khi đó: \( \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(2)=4-\frac{m}{3}=5\Leftrightarrow m=-3 \) loại do \( m>0 \) .
Trường hợp 2: \( m<-36\Rightarrow \)phương trình (1) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \) phương trình \( {y}’=0 \) vô nghiệm.
Dễ thấy \( y(0)=-m>y(2)=4-\frac{m}{3} \) khi \( m<-36 \).
Khi đó \( \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(0)=-m=5\Leftrightarrow m=-5 \) loại do \( m<-36 \).
Trường hợp 3: \( m\in \left[ -36;0 \right]\Rightarrow \)phương trình \( {y}’=0 \) có nghiệm duy nhất (giả sử \( x={{x}_{0}} \)).
Trên \( \left[ 0;2 \right] \) ta có bảng biến thiên:
Nhìn vào bảng biến thiên, ta có:
+ \( x={{x}_{0}}:g(x)=m\Leftrightarrow -\left( 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x \right)=m \) \( \Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x+m=0\Leftrightarrow {y}’=0 \).
+ \( x\in \left( 0;{{x}_{0}} \right):g(x)>m\Leftrightarrow -\left( 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x \right)>m \) \( \Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x+m<0\Leftrightarrow {y}'<0 \)
+ \( x\in \left( {{x}_{0}};0 \right):g(x)<m\Leftrightarrow -\left( 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x \right)0\Leftrightarrow {y}’>0 \)
Ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy: \( \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y\in \left\{ y(2);y(0) \right\} \).
Nếu \( m\in \left[ -36;-6 \right]\Rightarrow y(0)\ge y(2) \) \( \Rightarrow \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(0)=-m=5\Leftrightarrow m=-5 \) (loại)
Nếu \( m\in \left[ -6;0 \right]\Rightarrow y(0)\le y(2) \) \( \Rightarrow \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(2)=4-\frac{m}{3}=5\Leftrightarrow m=-3 \) (nhận).
Vậy \( m=-3 \) thỏa đề.
Cách 2:
Tập xác định của hàm số: \( D=\mathbb{R}\backslash \{1\}\Rightarrow \left[ 0;2 \right]\subset D \)
Ta có: \( y=\frac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-m}{x+1}={{x}^{2}}-\frac{m}{x+1} \) \( \Rightarrow {y}’=2x+\frac{m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \).
Trường hợp 1: \( m\ge 0\Rightarrow {y}’\ge 0,\forall x\in \left[ 0;2 \right] \) \( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \( \left[ 0;2 \right] \).
\( \Rightarrow \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(2)=4-\frac{m}{3}=5\Leftrightarrow m=-3 \) loại do \( m>0 \).
Trường hợp 2: \( m<0 \), giả sử \( \Rightarrow \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y({{x}_{0}}) \) với \( {{x}_{0}}\in \left( 0;2 \right) \). Do hàm số liên tục trên \( \left[ 0;2 \right] \)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & {y}'({{x}_{0}})=0 \\ & y({{x}_{0}})=5 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m=-2{{x}_{0}}{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}} \\ & \frac{x_{0}^{3}+x_{0}^{2}-m}{{{x}_{0}}+1}=5 \\ \end{align} \right. \)
\( \Rightarrow x_{0}^{3}+x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}=5\left( {{x}_{0}}+1 \right) \) \( \Leftrightarrow {{x}_{0}}=-\frac{5}{3}\vee {{x}_{0}}=1(n) \) \( \Rightarrow m=-8 \)
Khi đó: \( {y}’=2x+\frac{-8}{{{(x+1)}^{2}}}=\frac{2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x-8}{{{(x+1)}^{2}}} \) \( \Rightarrow {y}’=0\Leftrightarrow x=1 \)
Ta có bảng biến thiên:
\( \Rightarrow m=-8 \) không thỏa yêu cầu đề.
Nên không tồn tại \({{x}_{0}}\in \left( 0;2 \right)\) để \(\underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y({{x}_{0}})\).
\( \Rightarrow \left[ \begin{align} & \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(2)\Rightarrow m=-5 \\ & \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(0)\Rightarrow m=-3 \\ \end{align} \right. \)
Nếu \( m=-5\Rightarrow y(0)=5;y(2)=\frac{17}{3} \) \( \Rightarrow \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(2)=\frac{17}{3}\ne 5\Rightarrow m=-5 \) (loại)
Nếu \( m=-3\Rightarrow y(0)=3;y(2)=5 \) \( \Rightarrow \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(2)=5\Rightarrow m=-3 \) (nhận).
Vậy \( m=-3 \) thỏa đề.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!