Giá trị lớn nhất của hàm số y=(x^3+x^2−m)/(x+1) trên [0;2] bằng 5

Giá trị lớn nhất của hàm số \( y=\frac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-m}{x+1} \) trên  \( \left[ 0;2 \right] \) bằng 5. Tham số m nhận giá trị là:

A. \( -5 \)

B. 1                                   

C.  \( -3 \)           

D.  \( -8 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Cách 1:

Tập xác định của hàm số:  \( D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\} \) \( \Rightarrow \left[ 0;2 \right]\subset D \)

Ta có:  \( y=\frac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-m}{x+1} \) \( \Rightarrow {y}’=\frac{2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x+m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x+m=0 \) \( \Leftrightarrow -\left( 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x \right)=m \)  (1).

Ta có:  \( y(0)=-m  \);  \( y(2)=4-\frac{m}{3} \)

Đặt  \( g(x)=-\left( 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x \right) \) \( \Rightarrow {g}'(x)=-\left( 6{{x}^{2}}+8x+2 \right)=0 \) \( \Leftrightarrow x=-1\vee x=-\frac{1}{3} \)

Trên  \( \left[ 0;2 \right] \) ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:  \( g(x)\in \left[ -36;0 \right],\forall x\in \left[ 0;2 \right] \)

Trường hợp 1: m > 0  \( \Rightarrow  \) phương trình (1) vô nghiệm  \( \Leftrightarrow  \)phương trình  \( {y}’=0 \) vô nghiệm.

Dễ thấy  \( y(0)=-m<y(2)=4-\frac{m}{3} \) khi  \( m>0 \).

Khi đó:  \( \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(2)=4-\frac{m}{3}=5\Leftrightarrow m=-3 \) loại do  \( m>0 \) .

Trường hợp 2:  \( m<-36\Rightarrow  \)phương trình (1) vô nghiệm  \( \Leftrightarrow  \) phương trình  \( {y}’=0 \) vô nghiệm.

Dễ thấy  \( y(0)=-m>y(2)=4-\frac{m}{3} \) khi  \( m<-36 \).

Khi đó  \( \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(0)=-m=5\Leftrightarrow m=-5 \) loại do  \( m<-36 \).

Trường hợp 3:  \( m\in \left[ -36;0 \right]\Rightarrow  \)phương trình  \( {y}’=0 \) có nghiệm duy nhất (giả sử  \( x={{x}_{0}} \)).

Trên  \( \left[ 0;2 \right] \) ta có bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên, ta có:

+  \( x={{x}_{0}}:g(x)=m\Leftrightarrow -\left( 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x \right)=m  \) \( \Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x+m=0\Leftrightarrow {y}’=0 \).

+  \( x\in \left( 0;{{x}_{0}} \right):g(x)>m\Leftrightarrow -\left( 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x \right)>m  \) \( \Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x+m<0\Leftrightarrow {y}'<0 \)

+  \( x\in \left( {{x}_{0}};0 \right):g(x)<m\Leftrightarrow -\left( 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x \right)0\Leftrightarrow {y}’>0 \)

Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy:  \( \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y\in \left\{ y(2);y(0) \right\} \).

Nếu  \( m\in \left[ -36;-6 \right]\Rightarrow y(0)\ge y(2) \) \( \Rightarrow \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(0)=-m=5\Leftrightarrow m=-5 \) (loại)

Nếu  \( m\in \left[ -6;0 \right]\Rightarrow y(0)\le y(2) \) \( \Rightarrow \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(2)=4-\frac{m}{3}=5\Leftrightarrow m=-3 \) (nhận).

Vậy  \( m=-3 \) thỏa đề.

Cách 2:

Tập xác định của hàm số:  \( D=\mathbb{R}\backslash \{1\}\Rightarrow \left[ 0;2 \right]\subset D  \)

Ta có:  \( y=\frac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-m}{x+1}={{x}^{2}}-\frac{m}{x+1} \) \( \Rightarrow {y}’=2x+\frac{m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \).

Trường hợp 1: \( m\ge 0\Rightarrow {y}’\ge 0,\forall x\in \left[ 0;2 \right] \) \( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên  \( \left[ 0;2 \right] \).

 \( \Rightarrow \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(2)=4-\frac{m}{3}=5\Leftrightarrow m=-3 \) loại do  \( m>0 \).

Trường hợp 2:  \( m<0 \), giả sử  \( \Rightarrow \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y({{x}_{0}}) \) với  \( {{x}_{0}}\in \left( 0;2 \right) \). Do hàm số liên tục trên  \( \left[ 0;2 \right] \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & {y}'({{x}_{0}})=0 \\ & y({{x}_{0}})=5 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m=-2{{x}_{0}}{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}} \\  & \frac{x_{0}^{3}+x_{0}^{2}-m}{{{x}_{0}}+1}=5 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow x_{0}^{3}+x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}=5\left( {{x}_{0}}+1 \right) \) \( \Leftrightarrow {{x}_{0}}=-\frac{5}{3}\vee {{x}_{0}}=1(n) \) \( \Rightarrow m=-8 \)

Khi đó:  \( {y}’=2x+\frac{-8}{{{(x+1)}^{2}}}=\frac{2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x-8}{{{(x+1)}^{2}}} \) \( \Rightarrow {y}’=0\Leftrightarrow x=1 \)

Ta có bảng biến thiên:

 \( \Rightarrow m=-8 \) không thỏa yêu cầu đề.

Nên không tồn tại \({{x}_{0}}\in \left( 0;2 \right)\) để \(\underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y({{x}_{0}})\).

\( \Rightarrow \left[ \begin{align} & \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(2)\Rightarrow m=-5 \\  & \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(0)\Rightarrow m=-3 \\ \end{align} \right. \)

Nếu  \( m=-5\Rightarrow y(0)=5;y(2)=\frac{17}{3} \) \( \Rightarrow \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(2)=\frac{17}{3}\ne 5\Rightarrow m=-5 \) (loại)

Nếu  \( m=-3\Rightarrow y(0)=3;y(2)=5 \) \( \Rightarrow \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(2)=5\Rightarrow m=-3 \) (nhận).

Vậy  \( m=-3 \) thỏa đề.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *