Giả sử z1, z2 là hai trong các số phức thỏa mãn (z−6)(8+z¯i)là số thực. Biết rằng |z1−z2|=4, giá trị nhỏ nhất của |z1+3z2| bằng

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Giả sử  \( z=x+yi,\text{ }x,y\in \mathbb{R} \). Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z₁, z_­2. Suy ra  \( AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4 \).

+ Ta có:  \( (z-6)(8-\bar{z}i)=\left[ (x-6)+yi \right]\left[ (8-y)-xi \right]=(8x+6y-48)-({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y)I \). Theo giả thiết  \( (z-6)(8-\bar{z}i) \) là số thực nên ta suy ra  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0 \). Tức là các điểm A, B thuộc đường tròn (C) tâm I(3;4), bán kính R = 5.

+ Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa  \( \overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{OM} \). Gọi H là trung điểm AB. Ta tính được  \( H{{I}^{2}}={{R}^{2}}-H{{B}^{2}}=21;\text{ }IM=\sqrt{H{{I}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{22} \), suy ra điểm M thuộc đường tròn (C’) tâm I(3;4), bán kính  \( r=\sqrt{22} \).

+ Ta có:  \( \left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} \right|=\left| 4\overrightarrow{OM} \right|=4OM \), do đó  \( \left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right| \) nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.

Ta có  \( O{{M}_{\min }}=O{{M}_{0}}=\left| OI-r \right|=5-\sqrt{22} \).

Vậy  \( {{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=4O{{M}_{0}}=20-4\sqrt{22} \).