Giả sử z1, z2 là hai trong các số phức thỏa mãn \( (z-6)(8+\bar{z}i) \)là số thực. Biết rằng \( \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4 \), giá trị nhỏ nhất của \( \left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right| \) bằng
A. \( 5-\sqrt{21} \)
B. \( 20-4\sqrt{21} \)
C. \( 20-4\sqrt{22} \)
D. \( 5-\sqrt{22} \)
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Giả sử \( z=x+yi,\text{ }x,y\in \mathbb{R} \). Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z1, z2. Suy ra \( AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4 \).
+ Ta có: \( (z-6)(8-\bar{z}i)=\left[ (x-6)+yi \right]\left[ (8-y)-xi \right]=(8x+6y-48)-({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y)I \). Theo giả thiết \( (z-6)(8-\bar{z}i) \) là số thực nên ta suy ra \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0 \). Tức là các điểm A, B thuộc đường tròn (C) tâm I(3;4), bán kính R = 5.
+ Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa \( \overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{OM} \). Gọi H là trung điểm AB. Ta tính được \( H{{I}^{2}}={{R}^{2}}-H{{B}^{2}}=21;\text{ }IM=\sqrt{H{{I}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{22} \), suy ra điểm M thuộc đường tròn (C’) tâm I(3;4), bán kính \( r=\sqrt{22} \).
+ Ta có: \( \left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} \right|=\left| 4\overrightarrow{OM} \right|=4OM \), do đó \( \left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right| \) nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.
Ta có \( O{{M}_{\min }}=O{{M}_{0}}=\left| OI-r \right|=5-\sqrt{22} \).
Vậy \( {{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=4O{{M}_{0}}=20-4\sqrt{22} \).
Các bài toán liên quan
Các bài toán mới!
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh các lớp 10, 11, 12, LTDH
- Cơ sở 1: Khu đô thị Garden, Thị trấn Đức Tài, Huyện Đức Linh, Tỉnh Bình Thuận
- Cơ sở 2: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Cơ sở 3: số 33/66, hẻm 33, đường số 5, P. Bình Hưng Hòa, Quận Tân Bình, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!