Giả sử z1, z2 là hai trong các số phức thỏa mãn \( (z-6)(8+\bar{z}i) \)là số thực. Biết rằng \( \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4 \), giá trị nhỏ nhất của \( \left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right| \) bằng
A. \( 5-\sqrt{21} \)
B. \( 20-4\sqrt{21} \)
C. \( 20-4\sqrt{22} \)
D. \( 5-\sqrt{22} \)
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Giả sử \( z=x+yi,\text{ }x,y\in \mathbb{R} \). Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z1, z2. Suy ra \( AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4 \).
+ Ta có: \( (z-6)(8-\bar{z}i)=\left[ (x-6)+yi \right]\left[ (8-y)-xi \right]=(8x+6y-48)-({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y)I \). Theo giả thiết \( (z-6)(8-\bar{z}i) \) là số thực nên ta suy ra \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0 \). Tức là các điểm A, B thuộc đường tròn (C) tâm I(3;4), bán kính R = 5.
+ Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa \( \overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{OM} \). Gọi H là trung điểm AB. Ta tính được \( H{{I}^{2}}={{R}^{2}}-H{{B}^{2}}=21;\text{ }IM=\sqrt{H{{I}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{22} \), suy ra điểm M thuộc đường tròn (C’) tâm I(3;4), bán kính \( r=\sqrt{22} \).
+ Ta có: \( \left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} \right|=\left| 4\overrightarrow{OM} \right|=4OM \), do đó \( \left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right| \) nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.
Ta có \( O{{M}_{\min }}=O{{M}_{0}}=\left| OI-r \right|=5-\sqrt{22} \).
Vậy \( {{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=4O{{M}_{0}}=20-4\sqrt{22} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!