Giả sử F(x) là một nguyên hàm của \( f(x)=\frac{\ln (x+3)}{{{x}^{2}}} \) sao cho \( F(-2)+F(1)=0 \). Giá trị của \( F(-1)+F(2) \) bằng
A. \(\frac{10}{3}\ln 2-\frac{5}{6}\ln 5\)
B. 0
C. \(\frac{7}{3}\ln 2\)
D. \(\frac{2}{3}\ln 2+\frac{1}{2}\ln 5\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Tính \(\int{\frac{\ln (x+3)}{{{x}^{2}}}dx}\)
Đặt \(\left\{ \begin{align} & u=\ln (x+3) \\ & dv=\frac{dx}{{{x}^{2}}} \\ \end{align} \right.\)\(\to \left\{ \begin{align} & du=\frac{dx}{x+3} \\ & v=-\frac{1}{x} \\ \end{align} \right.\)
Ta có: \( \int{\frac{\ln (x+3)}{{{x}^{2}}}dx}=-\frac{1}{x}\ln (x+3)+\int{\frac{1}{x(x+3)}dx} \) \( =-\frac{1}{x}\ln (x+3)+\frac{1}{3}\ln \left| \frac{x}{x+3} \right|+C=F(x)+C \)
Lại có: \( F(-2)+F(1)=0\Leftrightarrow \left( \frac{1}{3}\ln 2+C \right)+\left( -\ln 4+\frac{1}{3}\ln \frac{1}{4}+C \right)=0\Leftrightarrow 2C=\frac{7}{3}\ln 2 \)
Suy ra: \( F(-1)+F(2)=\ln 2+\frac{1}{3}\ln 2-\frac{1}{2}\ln 5+\frac{1}{3}\ln \frac{2}{5}+2C=\frac{10}{3}\ln 2-\frac{5}{6}\ln 5 \)
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!