Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x)=ln(x+3)/x^2 sao cho F(−2)+F(1)=0. Giá trị của F(−1)+F(2) bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Tính \(\int{\frac{\ln (x+3)}{{{x}^{2}}}dx}\)

Đặt \(\left\{ \begin{align}  & u=\ln (x+3) \\  & dv=\frac{dx}{{{x}^{2}}} \\ \end{align} \right.\)\(\to \left\{ \begin{align} & du=\frac{dx}{x+3} \\  & v=-\frac{1}{x} \\ \end{align} \right.\)

Ta có:  \( \int{\frac{\ln (x+3)}{{{x}^{2}}}dx}=-\frac{1}{x}\ln (x+3)+\int{\frac{1}{x(x+3)}dx} \) \( =-\frac{1}{x}\ln (x+3)+\frac{1}{3}\ln \left| \frac{x}{x+3} \right|+C=F(x)+C \)

Lại có:  \( F(-2)+F(1)=0\Leftrightarrow \left( \frac{1}{3}\ln 2+C \right)+\left( -\ln 4+\frac{1}{3}\ln \frac{1}{4}+C \right)=0\Leftrightarrow 2C=\frac{7}{3}\ln 2 \)

Suy ra:  \( F(-1)+F(2)=\ln 2+\frac{1}{3}\ln 2-\frac{1}{2}\ln 5+\frac{1}{3}\ln \frac{2}{5}+2C=\frac{10}{3}\ln 2-\frac{5}{6}\ln 5 \)