đường thẳng d:y=−3x+m cắt đồ thị hàm số y=(2x+1)/(x−1) (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng Δ:x−2y−2=0, với O là gốc tọa độ

Giả sử \( m=-\frac{b}{a},\text{ }a,b\in {{\mathbb{Z}}^{+}},\text{ }\left( a,b \right)=1 \) là giá trị thực của tham số m để đường thẳng  \( d:y=-3x+m  \) cắt đồ thị hàm số  \( y=\frac{2x+1}{x-1} \) (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng  \( \Delta :x-2y-2=0 \), với O là gốc tọa độ. Tính  \( a+2b  \).

A. 2

B. 5

C. 11                                

D. 21

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( \frac{2x+1}{x-1}=-3x+m,\text{ }x\ne 1 \)

 \( \Rightarrow 3{{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m+1=0 \) (*)

Để (C) cắt d tại hai điểm phân biệt thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Suy ra  \( \left\{ \begin{align}  & {{\left( m+1 \right)}^{2}}-12\left( m+1 \right)>0 \\  & {{3.1}^{2}}-\left( m+1 \right).1+\left( m+1 \right)\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left[ \begin{align}  & m+1<0 \\  & m+1>12 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m<-1 \\  & m>11 \\ \end{align} \right. \)

Khi đó:  \( A\left( {{x}_{1}};-3{{x}_{1}}+m \right) \),  \( B\left( {{x}_{2}};-3{{x}_{2}}+m \right) \) với x1 và x2 là nghiệm của phương trình (*) đồng thời thỏa mãn  \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{m+1}{3} \).

Gọi G là trọng tâm của  \( \Delta OAB  \), ta có:  \( G\left( \frac{m+1}{9};\frac{m-1}{3} \right) \)

Mà  \( G\in \Delta  \) nên  \( \frac{m+1}{9}-2.\frac{m-1}{3}-2=0\Rightarrow m=-\frac{11}{5} \).

Suy ra  \( \left\{ \begin{align}  & a=11 \\  & b=5 \\ \end{align} \right. \).

Vậy  \( a+2b=21 \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *