đường thẳng d:y=−3x+m cắt đồ thị hàm số y=(2x+1)/(x−1) (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng Δ:x−2y−2=0, với O là gốc tọa độ

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( \frac{2x+1}{x-1}=-3x+m,\text{ }x\ne 1 \)

 \( \Rightarrow 3{{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m+1=0 \) (*)

Để (C) cắt d tại hai điểm phân biệt thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Suy ra  \( \left\{ \begin{align}  & {{\left( m+1 \right)}^{2}}-12\left( m+1 \right)>0 \\  & {{3.1}^{2}}-\left( m+1 \right).1+\left( m+1 \right)\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left[ \begin{align}  & m+1<0 \\  & m+1>12 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m<-1 \\  & m>11 \\ \end{align} \right. \)

Khi đó:  \( A\left( {{x}_{1}};-3{{x}_{1}}+m \right) \),  \( B\left( {{x}_{2}};-3{{x}_{2}}+m \right) \) với x1 và x2 là nghiệm của phương trình (*) đồng thời thỏa mãn  \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{m+1}{3} \).

Gọi G là trọng tâm của  \( \Delta OAB  \), ta có:  \( G\left( \frac{m+1}{9};\frac{m-1}{3} \right) \)

Mà  \( G\in \Delta  \) nên  \( \frac{m+1}{9}-2.\frac{m-1}{3}-2=0\Rightarrow m=-\frac{11}{5} \).

Suy ra  \( \left\{ \begin{align}  & a=11 \\  & b=5 \\ \end{align} \right. \).

Vậy  \( a+2b=21 \).