Đường thẳng d có phương trình y=x+4 cắt đồ thị hàm số y=x^3+2mx^2+(m+3)x+4 tại 3 điểm phân biệt A(0;4), B và C sao cho diện tích của tam giác MBC bằng 4, với M(1;3)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình

 \( {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+3)x+4=x+4 \) \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+2)x=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & {{x}^{2}}+2mx+m-2=0\text{ }(*) \\ \end{align} \right. \)

Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}-m-2>0 \\  & m+2\ne 0 \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m<-1  \\ m>2 \end{array}\right.  \\ m\ne -2 \end{cases} \) (**)

Giả sử  \( B\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+4 \right) \),  \( C\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+4 \right) \) với x1, x2 là nghiệm của phương trình (*) khi đó

 \( BC=\sqrt{2{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}} \) \( =\sqrt{2{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\sqrt{8{{m}^{2}}-8m-16} \)

\({{S}_{\Delta MBC}}=\frac{1}{2}BC.{{d}_{\left( M,(d) \right)}}=\frac{1}{2}.BC.\frac{\left| 1-3+4 \right|}{\sqrt{2}}=4\)

\(\Rightarrow BC=4\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{8{{m}^{2}}-8m-16}=4\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=-2 \\  & m=3 \\ \end{align} \right.\)

 So sánh điều kiện (**) ta có: m = 3.