Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình log3(3^x+2m)=log5(3^x−m^2) có nghiệm?

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình \( {{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}+2m \right)={{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-{{m}^{2}} \right) \) có nghiệm?

A. 3

B. 4

C. 2                                   

D. 5

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Đặt  \( {{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}+2m \right)={{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-{{m}^{2}} \right)=t  \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{3}^{x}}+2m={{3}^{t}} \\ & {{3}^{x}}-{{m}^{2}}={{5}^{t}} \\ \end{align} \right. \)

\( \Rightarrow 2m+{{m}^{2}}={{3}^{t}}-{{5}^{t}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m+1={{3}^{t}}-{{5}^{t}}+1 \) (*)

Xét hàm số  \( f(t)={{3}^{t}}-{{5}^{t}}+1,\forall t\in \mathbb{R} \).

Ta có: \({f}'(t)={{3}^{t}}.\ln 3-{{5}^{t}}.\ln 5\)

Khi đó:  \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow {{3}^{t}}.\ln 3-{{5}^{t}}.\ln 5=0 \) \( \Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{t}}=\frac{\ln 5}{\ln 3}\Leftrightarrow t={{\log }_{\frac{3}{5}}}\left( {{\log }_{3}}5 \right)={{t}_{0}} \)

Bảng biến thiên:

Phương trình (*) có nghiệm  \( \Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}\le f({{t}_{0}})\Leftrightarrow -\sqrt{f({{t}_{0}})}-1\le m\le \sqrt{f({{t}_{0}})}-1 \)

 \( \Rightarrow 2,068\le m\le 0,068 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0 \right\} \)

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *