Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình log3(3^x+2m)=log5(3^x−m^2) có nghiệm?

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Đặt  \( {{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}+2m \right)={{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-{{m}^{2}} \right)=t  \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{3}^{x}}+2m={{3}^{t}} \\ & {{3}^{x}}-{{m}^{2}}={{5}^{t}} \\ \end{align} \right. \)

\( \Rightarrow 2m+{{m}^{2}}={{3}^{t}}-{{5}^{t}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m+1={{3}^{t}}-{{5}^{t}}+1 \) (*)

Xét hàm số  \( f(t)={{3}^{t}}-{{5}^{t}}+1,\forall t\in \mathbb{R} \).

Ta có: \({f}'(t)={{3}^{t}}.\ln 3-{{5}^{t}}.\ln 5\)

Khi đó:  \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow {{3}^{t}}.\ln 3-{{5}^{t}}.\ln 5=0 \) \( \Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{t}}=\frac{\ln 5}{\ln 3}\Leftrightarrow t={{\log }_{\frac{3}{5}}}\left( {{\log }_{3}}5 \right)={{t}_{0}} \)

Bảng biến thiên:

Phương trình (*) có nghiệm  \( \Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}\le f({{t}_{0}})\Leftrightarrow -\sqrt{f({{t}_{0}})}-1\le m\le \sqrt{f({{t}_{0}})}-1 \)

 \( \Rightarrow 2,068\le m\le 0,068 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0 \right\} \)

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn.