Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình \( {{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}+2m \right)={{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-{{m}^{2}} \right) \) có nghiệm?
A. 3
B. 4
C. 2
D. 5
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Đặt \( {{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}+2m \right)={{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-{{m}^{2}} \right)=t \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{3}^{x}}+2m={{3}^{t}} \\ & {{3}^{x}}-{{m}^{2}}={{5}^{t}} \\ \end{align} \right. \)
\( \Rightarrow 2m+{{m}^{2}}={{3}^{t}}-{{5}^{t}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m+1={{3}^{t}}-{{5}^{t}}+1 \) (*)
Xét hàm số \( f(t)={{3}^{t}}-{{5}^{t}}+1,\forall t\in \mathbb{R} \).
Ta có: \({f}'(t)={{3}^{t}}.\ln 3-{{5}^{t}}.\ln 5\)
Khi đó: \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow {{3}^{t}}.\ln 3-{{5}^{t}}.\ln 5=0 \) \( \Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{t}}=\frac{\ln 5}{\ln 3}\Leftrightarrow t={{\log }_{\frac{3}{5}}}\left( {{\log }_{3}}5 \right)={{t}_{0}} \)
Bảng biến thiên:
Phương trình (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}\le f({{t}_{0}})\Leftrightarrow -\sqrt{f({{t}_{0}})}-1\le m\le \sqrt{f({{t}_{0}})}-1 \)
\( \Rightarrow 2,068\le m\le 0,068 \)
Do \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0 \right\} \)
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!