Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình \( {{\log }_{2}}\left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \) nghiệm đúng \( \forall x\in \mathbb{R} \).
A. 5
B. 4
C. 0
D. 3
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Cách 1:
Bất phương trình: \( {{\log }_{2}}\left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\ & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & f(x)=(m-7){{x}^{2}}+4x+m-7\le 0 \\ & g(x)=m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right.\)
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với \( \forall x\in \mathbb{R} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \\ & g(x)>0,\forall x\in \mathbb{R} \\ \end{align} \right. \)
+ Trường hợp 1: m = 7
\( \left\{ \begin{align} & f(x)\le 0 \\ & g(x)>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 4x\le 0 \\ & 7{{x}^{2}}+4x+7>0 \\ \end{align} \right. \)
Vậy m = 7 không thỏa yêu cầu bài toán.
+ Trường hợp 2: m = 0.
\( \left\{ \begin{align} & f(x)\le 0 \\ & g(x)>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -7{{x}^{2}}+4x-7\le 0 \\ & 4x>0 \\ \end{align} \right. \)
Vậy m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán.
+ Trường hợp 3: \( m\ne 0;m\ne 7 \)
Khi đó: \( \left\{ \begin{align} & f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \\ & g(x)>0,\forall x\in \mathbb{R} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}_{f}}<0 \\ & \Delta _{f}^{/}\le 0 \\ & {{a}_{g}}>0 \\ & \Delta _{g}^{/}<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m-7<0 \\ & 4-{{(m-7)}^{2}}\le 0 \\ & m>0 \\ & 4-{{m}^{2}}<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m<7 \\ & m\le 5\vee m\ge 9 \\ & m>0 \\ & m<-2\vee m>2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 2< m\le 5 \)
Do \( m\in \mathbb{Z} \) nên \( m\in \left\{ 3;4;5 \right\} \).
Cách 2:
\({{\log }_{2}}\left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\ & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & (m-7){{x}^{2}}+4x+m-7\le 0 \\ & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7{{x}^{2}}-4x+7\ge m\left( {{x}^{2}}+1 \right) \\ & m\left( {{x}^{2}}+1 \right)>-4x \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m\le \frac{7{{x}^{2}}-4x+7}{{{x}^{2}}+1}=7-\frac{4x}{{{x}^{2}}+1} \\ & m>\frac{-4x}{{{x}^{2}}+1} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m-7\le -\frac{4x}{{{x}^{2}}+1} \\ & m>\frac{-4x}{{{x}^{2}}+1} \\ \end{align} \right. \) (*)
Xét hàm số \( g(x)=-\frac{-4x}{{{x}^{2}}+1},\forall x\in \mathbb{R} \).
\({g}'(x)=\frac{-4({{x}^{2}}+1)+4x({{x}^{2}}+1{)}’}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}=\frac{4{{x}^{2}}-4}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}\)
\({g}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=1 \\ \end{align} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy điều kiện (*)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m-7\le -2 \\ & m>2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 2<m\le 5 \)
Do \( m\in \mathbb{Z} \) nên \( m\in \left\{ 3;4;5 \right\} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!