Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình log2(7x^2+7)≥log2(mx^2+4x+m) nghiệm đúng ∀x∈R

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình \( {{\log }_{2}}\left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \) nghiệm đúng  \( \forall x\in \mathbb{R} \).

A. 5

B. 4

C. 0                                   

D. 3

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Cách 1:

Bất phương trình:  \( {{\log }_{2}}\left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\  & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & f(x)=(m-7){{x}^{2}}+4x+m-7\le 0 \\  & g(x)=m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right.\)

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \\  & g(x)>0,\forall x\in \mathbb{R} \\ \end{align} \right. \)

+ Trường hợp 1: m = 7

\( \left\{ \begin{align}  & f(x)\le 0 \\  & g(x)>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 4x\le 0 \\ & 7{{x}^{2}}+4x+7>0 \\ \end{align} \right. \)

Vậy m = 7 không thỏa yêu cầu bài toán.

+ Trường hợp 2: m = 0.

\( \left\{ \begin{align}  & f(x)\le 0 \\  & g(x)>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & -7{{x}^{2}}+4x-7\le 0 \\  & 4x>0 \\ \end{align} \right. \)

Vậy m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán.

+ Trường hợp 3:  \( m\ne 0;m\ne 7 \)

Khi đó: \( \left\{ \begin{align} & f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \\  & g(x)>0,\forall x\in \mathbb{R} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}_{f}}<0 \\  & \Delta _{f}^{/}\le 0 \\  & {{a}_{g}}>0 \\  & \Delta _{g}^{/}<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m-7<0 \\ & 4-{{(m-7)}^{2}}\le 0 \\ & m>0 \\  & 4-{{m}^{2}}<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<7 \\  & m\le 5\vee m\ge 9 \\  & m>0 \\  & m<-2\vee m>2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 2< m\le 5 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ 3;4;5 \right\} \).

Cách 2:

\({{\log }_{2}}\left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\  & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & (m-7){{x}^{2}}+4x+m-7\le 0 \\  & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7{{x}^{2}}-4x+7\ge m\left( {{x}^{2}}+1 \right) \\ & m\left( {{x}^{2}}+1 \right)>-4x \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m\le \frac{7{{x}^{2}}-4x+7}{{{x}^{2}}+1}=7-\frac{4x}{{{x}^{2}}+1} \\ & m>\frac{-4x}{{{x}^{2}}+1} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m-7\le -\frac{4x}{{{x}^{2}}+1} \\  & m>\frac{-4x}{{{x}^{2}}+1} \\ \end{align} \right. \) (*)

Xét hàm số  \( g(x)=-\frac{-4x}{{{x}^{2}}+1},\forall x\in \mathbb{R} \).

\({g}'(x)=\frac{-4({{x}^{2}}+1)+4x({{x}^{2}}+1{)}’}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}=\frac{4{{x}^{2}}-4}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}\)

\({g}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-1 \\  & x=1 \\ \end{align} \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy điều kiện (*)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m-7\le -2 \\  & m>2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 2<m\le 5 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ 3;4;5 \right\} \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *