Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình log2(7x^2+7)≥log2(mx^2+4x+m) nghiệm đúng ∀x∈R

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Cách 1:

Bất phương trình:  \( {{\log }_{2}}\left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\  & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & f(x)=(m-7){{x}^{2}}+4x+m-7\le 0 \\  & g(x)=m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right.\)

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \\  & g(x)>0,\forall x\in \mathbb{R} \\ \end{align} \right. \)

+ Trường hợp 1: m = 7

\( \left\{ \begin{align}  & f(x)\le 0 \\  & g(x)>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 4x\le 0 \\ & 7{{x}^{2}}+4x+7>0 \\ \end{align} \right. \)

Vậy m = 7 không thỏa yêu cầu bài toán.

+ Trường hợp 2: m = 0.

\( \left\{ \begin{align}  & f(x)\le 0 \\  & g(x)>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & -7{{x}^{2}}+4x-7\le 0 \\  & 4x>0 \\ \end{align} \right. \)

Vậy m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán.

+ Trường hợp 3:  \( m\ne 0;m\ne 7 \)

Khi đó: \( \left\{ \begin{align} & f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \\  & g(x)>0,\forall x\in \mathbb{R} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}_{f}}<0 \\  & \Delta _{f}^{/}\le 0 \\  & {{a}_{g}}>0 \\  & \Delta _{g}^{/}<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m-7<0 \\ & 4-{{(m-7)}^{2}}\le 0 \\ & m>0 \\  & 4-{{m}^{2}}<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<7 \\  & m\le 5\vee m\ge 9 \\  & m>0 \\  & m<-2\vee m>2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 2< m\le 5 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ 3;4;5 \right\} \).

Cách 2:

\({{\log }_{2}}\left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\  & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & (m-7){{x}^{2}}+4x+m-7\le 0 \\  & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7{{x}^{2}}-4x+7\ge m\left( {{x}^{2}}+1 \right) \\ & m\left( {{x}^{2}}+1 \right)>-4x \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m\le \frac{7{{x}^{2}}-4x+7}{{{x}^{2}}+1}=7-\frac{4x}{{{x}^{2}}+1} \\ & m>\frac{-4x}{{{x}^{2}}+1} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m-7\le -\frac{4x}{{{x}^{2}}+1} \\  & m>\frac{-4x}{{{x}^{2}}+1} \\ \end{align} \right. \) (*)

Xét hàm số  \( g(x)=-\frac{-4x}{{{x}^{2}}+1},\forall x\in \mathbb{R} \).

\({g}'(x)=\frac{-4({{x}^{2}}+1)+4x({{x}^{2}}+1{)}’}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}=\frac{4{{x}^{2}}-4}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}\)

\({g}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-1 \\  & x=1 \\ \end{align} \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy điều kiện (*)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m-7\le -2 \\  & m>2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 2<m\le 5 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ 3;4;5 \right\} \).