Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình m+3m+3logx-√3√3=logx có 3 nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Điều kiện:  \( x>0 \).

Đặt  \( t=\sqrt[3]{m+3\log x}\Rightarrow {{t}^{3}}=m+3\log x\Rightarrow m={{t}^{3}}-3\log x \).

Phương trình đã cho trở thành:  \( \sqrt[3]{{{t}^{3}}-3\log x+3t}=\log x \)

 \( \Leftrightarrow {{t}^{3}}-3\log x+3t={{\log }^{3}}x\Leftrightarrow {{t}^{3}}+3t={{\log }^{3}}x+3\log x \)  (1).

Xét hàm số  \( f(u)={{u}^{3}}+3u \) liên tục trên  \( \mathbb{R} \).

 \( \Rightarrow {f}'(u)=3{{u}^{2}}+3>0,\forall u\in \mathbb{R} \).

 \( \Rightarrow  \) Hàm số  \( y=f(u) \) đồng biến trên  \( \mathbb{R} \)   (2).

Khi đó, phương trình (1) trở thành:  \( f(t)=f(\log x) \)   (3).

Từ (2) và (3)  \( \Leftrightarrow t=\log x\Leftrightarrow \sqrt[3]{m+3\log x}=\log x\Leftrightarrow m={{\log }^{3}}x-3\log x \)   (4).

Đặt  \( v=\log x \).

Ta có bảng biến thiên:

Ta thấy: ứng với một nghiệm \( v\in \mathbb{R} \) sẽ cho ra một nghiệm  \( x\in (0;+\infty ) \).

Phương trình (4) trở thành:  \( m={{v}^{3}}-3v \).

Đặt  \( g(v)={{v}^{3}}-3v\Rightarrow {g}'(v)=3{{v}^{2}}-3=0\Leftrightarrow v=\pm 1 \).

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow m=g(x) \) có ba nghiệm  phân biệt  \( \Leftrightarrow -2<m<2 \).

Mà  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \{-1;0;1\} \).

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m m thỏa mãn yêu cầu bài toán.