Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 8^x+3x.4^x+(3x^2+1).2^x=(m^3-1)x^3+(m-1)x có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc (0;10)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

${{8}^{x}}+3x{{.4}^{x}}+\left( 3{{x}^{2}}+1 \right){{.2}^{x}}=\left( {{m}^{3}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x$ (1)

$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}}+x \right)}^{3}}+\left( {{2}^{x}}+x \right)={{\left( mx \right)}^{3}}+mx$ (2)

Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}+t$

Ta có: $t={{2}^{x}}+x$ mà $0< x <10\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 1<{{2}^{x}}<1024 \\& 0< x < 10 \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow 1<{{2}^{x}}+x<1034\Rightarrow 1<t<1034$

Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}+t,t\in \left( 1;1034 \right)$

\({f}'(t)=3{{t}^{2}}+1>0,\forall t\in \left( 1;1034 \right)\) hay $f(t)={{t}^{3}}+t$ đồng biến trên $t\in \left( 1;1034 \right)$.

Suy ra (2)$\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x=mx\Leftrightarrow m=\frac{{{2}^{x}}+x}{x}=\frac{{{2}^{x}}}{x}+1$

Xét hàm số $g(x)=\frac{{{2}^{x}}}{x}+1,t\in \left( 0;10 \right)$

$\Rightarrow {g}'(x)=\frac{x{{.2}^{x}}\ln 2-{{2}^{x}}}{{{x}^{2}}}=\frac{{{2}^{x}}\left( x.\ln 2-1 \right)}{{{x}^{2}}}$

${g}'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{\ln 2}={{\log }_{2}}e$

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow e\ln 2+1<m<104,4$

Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 3;4;……;104 \right\}$

Có tất cả 102 số nguyên m thỏa mãn.