Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ${{8}^{x}}+3x{{.4}^{x}}+\left( 3{{x}^{2}}+1 \right){{.2}^{x}}=\left( {{m}^{3}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x$ có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc $\left( 0;10 \right)$.
A. 101
B. 100
C. 102
D. 103
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
${{8}^{x}}+3x{{.4}^{x}}+\left( 3{{x}^{2}}+1 \right){{.2}^{x}}=\left( {{m}^{3}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x$ (1)
$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}}+x \right)}^{3}}+\left( {{2}^{x}}+x \right)={{\left( mx \right)}^{3}}+mx$ (2)
Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}+t$
Ta có: $t={{2}^{x}}+x$ mà $0< x <10\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 1<{{2}^{x}}<1024 \\& 0< x < 10 \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow 1<{{2}^{x}}+x<1034\Rightarrow 1<t<1034$
Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}+t,t\in \left( 1;1034 \right)$
\({f}'(t)=3{{t}^{2}}+1>0,\forall t\in \left( 1;1034 \right)\) hay $f(t)={{t}^{3}}+t$ đồng biến trên $t\in \left( 1;1034 \right)$.
Suy ra (2)$\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x=mx\Leftrightarrow m=\frac{{{2}^{x}}+x}{x}=\frac{{{2}^{x}}}{x}+1$
Xét hàm số $g(x)=\frac{{{2}^{x}}}{x}+1,t\in \left( 0;10 \right)$
$\Rightarrow {g}'(x)=\frac{x{{.2}^{x}}\ln 2-{{2}^{x}}}{{{x}^{2}}}=\frac{{{2}^{x}}\left( x.\ln 2-1 \right)}{{{x}^{2}}}$
${g}'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{\ln 2}={{\log }_{2}}e$
Bảng biến thiên:
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow e\ln 2+1<m<104,4$
Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 3;4;……;104 \right\}$
Có tất cả 102 số nguyên m thỏa mãn.
Các bài toán liên quan
Các bài toán mới!
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!