Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=x^8+(m−4)x^5−(m^2−16)x^4+1 đạt cực tiểu tại x = 0

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( {y}’=8{{x}^{7}}+5\left( m-5 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-16 \right){{x}^{3}} \)

 \( ={{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left( m-4 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-16 \right) \right]={{x}^{3}}.g(x) \)

Với  \( g(x)=8{{x}^{4}}+5\left( m-5 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-16 \right) \)

+ Trường hợp 1:  \( g(0)=0\Leftrightarrow m=\pm 4 \)

Với  \( m=4\Rightarrow {y}’=8{{x}^{7}} \). Suy ra x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.

Với  \( m=-4\Rightarrow {y}’=8{{x}^{4}}\left( {{x}^{3}}-5 \right) \). Suy ra x = 0 không là điểm cực trị của hàm số.

+ Trường hợp 2:  \( g(0)\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 4 \) để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 thì qua giá trị x = 0 dấu của y’ phải chuyển từ âm sang dương do đó  \( g(0)>0\Leftrightarrow -4<m<4 \)

Kết hợp hai trường hợp ta được  \( -4<m\le 4 \).

Do  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -3;-2;-1;0;1;2;3;4 \right\} \).

Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thõa mãn.