Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=x^8+(m−3)x^5−(m^2−9)x^4+1 đạt cực tiểu tại x = 0

(THPQG – 2018 – 104) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \( y={{x}^{8}}+\left( m-3 \right){{x}^{5}}-\left( {{m}^{2}}-9 \right){{x}^{4}}+1 \) đạt cực tiểu tại x = 0?

A. 6

B. Vô số                            

C. 4                                   

D. 7

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( {y}’=8{{x}^{7}}+5\left( m-3 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-9 \right){{x}^{3}} \)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right) \right]=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & g(x)=8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right)=0 \\ \end{align} \right. \)

Xét hàm số  \( g(x)=8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right) \) có  \( {g}'(x)=32{{x}^{3}}+5\left( m-3 \right) \)

Ta thấy  \( {g}'(x)=0 \) có một nghiệm nên  \( g(x)=0 \) có tối đa hai nghiệm

+ Trường hợp 1: Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 0  \( \Rightarrow m=3 \) hoặc  \( m=-3 \)

Với m = 3 thì x = 0 là nghiệm bội 4 của g(x). Khi đó x = 0 là nghiệm bội 7 của y’ và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 0 nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy m = 3 thỏa yêu cầu bài toán.

Với  \( m=-3 \) thì  \( g(x)=8{{x}^{4}}-30x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=\sqrt[3]{\frac{15}{4}} \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

 

Dựa vào bảng biến thiên x = 0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m=-3 không thỏa yêu cầu bài toán.

+ Trường hợp 2:  \( g(0)\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 3 \). Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

 \( \Leftrightarrow g(0)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9<0\Leftrightarrow -3<m<3 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\} \).

Vậy cả hai trường hợp ta được 6 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *