Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=x^8+(m−3)x^5−(m^2−9)x^4+1 đạt cực tiểu tại x = 0

(THPQG – 2018 – 104) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \( y={{x}^{8}}+\left( m-3 \right){{x}^{5}}-\left( {{m}^{2}}-9 \right){{x}^{4}}+1 \) đạt cực tiểu tại x = 0?

A. 6

B. Vô số                            

C. 4                                   

D. 7

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( {y}’=8{{x}^{7}}+5\left( m-3 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-9 \right){{x}^{3}} \)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right) \right]=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & g(x)=8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right)=0 \\ \end{align} \right. \)

Xét hàm số  \( g(x)=8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right) \) có  \( {g}'(x)=32{{x}^{3}}+5\left( m-3 \right) \)

Ta thấy  \( {g}'(x)=0 \) có một nghiệm nên  \( g(x)=0 \) có tối đa hai nghiệm

+ Trường hợp 1: Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 0  \( \Rightarrow m=3 \) hoặc  \( m=-3 \)

Với m = 3 thì x = 0 là nghiệm bội 4 của g(x). Khi đó x = 0 là nghiệm bội 7 của y’ và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 0 nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy m = 3 thỏa yêu cầu bài toán.

Với  \( m=-3 \) thì  \( g(x)=8{{x}^{4}}-30x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=\sqrt[3]{\frac{15}{4}} \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

 

Dựa vào bảng biến thiên x = 0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m=-3 không thỏa yêu cầu bài toán.

+ Trường hợp 2:  \( g(0)\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 3 \). Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

 \( \Leftrightarrow g(0)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9<0\Leftrightarrow -3<m<3 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\} \).

Vậy cả hai trường hợp ta được 6 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Fanpage Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Nhân Tài Việt

Fanpage Trung Tâm Gia Sư Dạy Kèm Nhân Tài Việt

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *