(THPQG – 2018 – 104) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \( y={{x}^{8}}+\left( m-3 \right){{x}^{5}}-\left( {{m}^{2}}-9 \right){{x}^{4}}+1 \) đạt cực tiểu tại x = 0?
A. 6
B. Vô số
C. 4
D. 7
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Ta có: \( {y}’=8{{x}^{7}}+5\left( m-3 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-9 \right){{x}^{3}} \)
\( {y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right) \right]=0 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & g(x)=8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right)=0 \\ \end{align} \right. \)
Xét hàm số \( g(x)=8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right) \) có \( {g}'(x)=32{{x}^{3}}+5\left( m-3 \right) \)
Ta thấy \( {g}'(x)=0 \) có một nghiệm nên \( g(x)=0 \) có tối đa hai nghiệm
+ Trường hợp 1: Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 0 \( \Rightarrow m=3 \) hoặc \( m=-3 \)
Với m = 3 thì x = 0 là nghiệm bội 4 của g(x). Khi đó x = 0 là nghiệm bội 7 của y’ và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 0 nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.
Vậy m = 3 thỏa yêu cầu bài toán.
Với \( m=-3 \) thì \( g(x)=8{{x}^{4}}-30x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=\sqrt[3]{\frac{15}{4}} \\ \end{align} \right. \)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên x = 0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m=-3 không thỏa yêu cầu bài toán.
+ Trường hợp 2: \( g(0)\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 3 \). Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
\( \Leftrightarrow g(0)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9<0\Leftrightarrow -3<m<3 \)
Do \( m\in \mathbb{Z} \) nên \( m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\} \).
Vậy cả hai trường hợp ta được 6 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!