Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=x^8+(m−2)x^5−(m^2−4)x^4+1 đạt cực tiểu tại x = 0

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có: \({y}’=8{{x}^{7}}+5\left( m-2 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-4 \right){{x}^{3}}\)

\(\Rightarrow {y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left( m-2 \right)-4\left( {{m}^{2}}-4 \right) \right]=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & g(x)=8{{x}^{4}}+5\left( m-2 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-4 \right)=0 \\ \end{align} \right. \)

Xét hàm số  \( g(x)=8{{x}^{4}}+5\left( m-2 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-4 \right)=0 \) có  \( {g}'(x)=32{{x}^{3}}+5\left( m-2 \right) \).

Ta thấy  \( {g}'(x)=0 \) có một nghiệm nên  \( g(x)=0 \) có tối đa hai nghiệm

+ Trường hợp 1: Nếu  \( g(x)=0 \) có nghiệm x = 0  \( \Rightarrow m=2 \) hoặc  \( m=-2 \).

– Với m = 2 thì x = 0 là nghiệm bội 4 của g(x).

Khi đó x = 0 là nghiệm bội 7 của y’ và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x = 0 nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy m = 2 thỏa yêu cầu bài toán.

– Với  \( m=-2 \) thì  \( g(x)=8{{x}^{4}}-20x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & x=\sqrt[3]{\frac{5}{2}} \\ \end{align} \right. \).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên x = 0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy  \( m=-2 \) không thỏa yêu cầu bài toán.

+ Trường hợp 2:  \( g(0)\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 2 \).

Để hàm số đạt cực tiểu tại  \( x=0\Leftrightarrow g(0)>0 \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}-4<0\Leftrightarrow -2<m<2 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) nên \(  m\in \left\{ -1;0;1 \right\} \).

Vậy cả hai trường hợp ta được 4 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.