Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=x^8+(m−1)x^5−(m^2−1)x^4+1 đạt cực tiểu tại x = 0

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( {y}’=8{{x}^{7}}+5\left( m-1 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{3}}+1 \) \( ={{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left( m-1 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-1 \right) \right] \)

\( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & 8{{x}^{4}}+5\left( m-1 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)=0\begin{matrix} {} & {}  \\\end{matrix}(1) \\ \end{align} \right. \)

+ Nếu m = 1 thì  \( {y}’=8{{x}^{7}} \), suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

+ Nếu  \( m=-1 \) thì  \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & 8{{x}^{4}}-10x=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\sqrt[3]{\frac{5}{4}} \\ \end{align} \right. \), nhưng x = 0 là nghiệm bội chẵn nên không phải cực trị.

+ Nếu  \( m\ne \pm 1 \): khi đó x = 0 là nghiệm bội lẻ. Xét  \( g(x)=8{{x}^{4}}+5\left( m-1 \right)x-4\left( {{m}^{4}}-1 \right) \).

Để x = 0 là điểm cực tiểu thì  \( \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)>0 \) \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}-1<0\Leftrightarrow -1<m<1 \). Vì m nguyên nên chỉ có giá trị m = 0.

Vậy chỉ có hai tham số m nguyên để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là m = 0 và m = 1.