Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=x^12+(m−5)x^7+(m^2−25)x^6+1 đạt cực đại tại x = 0

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \( y={{x}^{12}}+\left( m-5 \right){{x}^{7}}+\left( {{m}^{2}}-25 \right){{x}^{6}}+1 \) đạt cực đại tại x = 0?

A. 8

B. 9

C. Vô số                            

D. 10

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( {y}’=12{{x}^{11}}+7\left( m-5 \right){{x}^{6}}+6\left( {{m}^{2}}-25 \right){{x}^{5}} \)

Trường hợp 1:  \( m=5\Rightarrow {y}’=12{{x}^{11}} \). Khi đó  \( {y}’=0\Leftrightarrow x=0 \) là nghiệm bội lẻ, đồng thời dấu của y’ đổi từ âm sang dương nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số, do đó không thỏa mãn, m = 5 loại.

Trường hợp 2:  \( m=-5 \) \( \Rightarrow {y}’={{x}^{6}}\left( 12{{x}^{5}}-70 \right)=0\Rightarrow x=0 \) là nghiệm bội chẵn, do đó y’ không đổi dấu khi đi qua x = 0 nên  \( m=-5 \) (loại)

Trường hợp 3:  \( m\ne \pm 5 \) \( \Rightarrow {y}’={{x}^{5}}\left[ 12{{x}^{6}}+7\left( m-5 \right)x+6\left( {{m}^{2}}-25 \right) \right]={{x}^{5}}.g(x) \)

Với  \( g(x)=12{{x}^{6}}+7\left( m-5 \right)x+6\left( {{m}^{2}}-25 \right) \), ta thấy x = 0 không là nghiệm của g(x).

Để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì y’ phải đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x = 0, xảy ra khi và chỉ khi

\( \left\{ \begin{align}& \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)<0 \\ & \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)<0 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow 6\left( {{m}^{2}}-25 \right)<0\Leftrightarrow -5 < m<5 \)

Vì m nguyên nên  \( m\in \left\{ -4;-3;…;3;4 \right\} \)

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn bài toán.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *